[論文レビュー] Complex Counterpart of Chern-Simons-Witten Theory and Holomorphic Linking

Igor Frenkel, Andrey Todorov|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、形式的経路積分を用いて、Calabi-Yau 3-fold 内の複素曲線のための正則リンクインバリアントを定義することにより、Chern-Simons-Witten理論の複素幾何的類似物を導入する。主な結果は、実ガウスリンク数のグリーン関数がボフナー＝マルティネリ核に置き換えられ、正則リンクが局所コホモロジーにおけるグローテンディーク＝セール双対性を介して厳密に表現されることであり、トポロジカル、解析的、代数幾何的視点が統合される。

ABSTRACT

In this paper we are begining to explore the complex counterpart of the Chern-Simon-Witten theory. We define the complex analogue of the Gauss linking number for complex curves embedded in a Calabi-Yau threefold using the formal path integral that leads to a rigorous mathematical expression. We give an analytic and geometric interpretation of our holomorphic linking following the parallel with the real case. We show in particular that the Green kernel that appears in the explicit integral for the Gauss linking number is replaced by the Bochner-Martinelli kernel. We also find canonical expressions of the holomorphic linking using the Grothendieck-Serre duality in local cohomology, the latter admits a generalization for an arbitrary field.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau多様体に対するChern-Simons-Witten理論の複素幾何的類似物を構築すること。
• 埋め込まれた複素曲線の正則リンクインバリアントを定義し、計量に依存せず複素構造にのみ依存することを保証すること。
• 形式的経路積分とコホモロジー双対性を用いて、正則リンクの厳密な数学的表現を確立すること。
• 正則リンクの解析的、幾何的、コホモロジカルな定式化の等価性を示すこと。
• 提案された正則リンクと4次元多様体のtwistor空間におけるアティヤのtwistorリンクとの間の対応を予想すること。

提案手法

• 正則リンクは、複素曲線上のホロノミー汎関数の相関関数として、形式的経路積分量子化を用いて定義される。
• 正則リンクは、実グリーン核の代わりにボフナー＝マルティネリ核を含む積分公式として表現される。
• 理論は、複素多様体上の電流およびCalabi-Yau多様体のZariski開部分集合のコホモロジーを用いて定式化される。
• グローテンディーク＝セール双対性は、局所コホモロジーにおける正則リンクの標準的な代数幾何的実現を提供する。
• 正則リンクの幾何的公式は、リーマン面への所定の留数を持つメラモーフィック形式から導出される。
• 一般化には、マークドポイントをもつリーマン面の正則リンクおよびアティヤのtwistor空間におけるリンクへの接続が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Chern-Simons-Witten経路積分は、どのようにしてCalabi-Yau多様体内の複素曲線の正則リンクインバリアントを定義する複素化に一般化できるか？
• RQ2 複素の場合に、ガウスリンク数の公式における実グリーン核は何かに置き換えられ、その解析的・幾何的意味は何か？
• RQ3 正則リンクは、局所コホモロジーにおけるグローテンディーク＝セール双対性とどのように関係し、代数幾何的解釈は何か？
• RQ4 正則リンクインバリアントは、4次元多様体のtwistor空間における有理曲線に対してアティヤの正則リンクと等価か？
• RQ5 一般線形群GL(n,C)をゲージ群とする複素CSW理論から、正則リンクの非アーベル一般化を導出可能か？

主な発見

• Calabi-Yau 3-fold 内の2つの複素曲線の正則リンクは、計量に依存せず複素構造と埋め込みにのみ依存する、正則微分形式への線形写像として定義される。
• 古典的ガウスリンク数の公式は、ボフナー＝マルティネリ核を用いて一般化され、曲線の積上での積分による正則リンクの解析的表現が得られる。
• 正則リンクの対称的形は、複素幾何における交差数に等価であることが示され、トポロジカルな実現が与えられる。
• 正則リンクは、局所コホモロジーにおけるグローテンディークおよびセール類を介して、標準的なコホモロジカル表現を有し、任意の体に一般化可能である。
• twistor空間内のマークドポイントをもつ有理曲線に対して、正則リンクはアティヤのリンク不変量と一致し、複素CSW理論とtwistor幾何の間の深い関係を支持する。
• 非アーベル正則リンクが、ゲージ群GL(n,C)をもつ複素CSW理論から、アーベルの場合の拡張として得られるとの予想が提示される。