[論文レビュー] Complex Numbers, One-Parameter of Unitary Transformations and Stone's Theorem in Topos Quantum Theory

W. G. Brenna, Cecilia Flori|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素数および1パラメータ単位的群のトポス的定式化を提示し、実および複素数量値対象のグロテンディークk拡張を用いて内部アーベル群構造を構成する。外部の時間や測定に依存しない、量子理論における単位的ダイナミクスの基礎的枠組みを提供する、ストーンの定理のトポス的類似を確立する。

ABSTRACT

Topos theory has been suggested first by Isham and Butterfield, and then by Isham and Doering, as an alternative mathematical structure within which to formulate physical theories. In particular, it has been used to reformulate standard quantum mechanics in such a way that a novel type of logic is used to represent propositions. In recent years the topic has been considerably progressing with the introduction of probabilities, group and group transformations. In the present paper we will introduce a candidate for the complex quantity value object and analyse its relation to the real quantity value object. By defining the Grothendieck k-extension of these two objects, so as to turn them into abelian groups, it is possible to define internal one parameter groups in a topos. We then use this new definition to construct the topos analogue of the Stone's theorem.

研究の動機と目的

• トポス量子理論における複素数量値対象の候補を定義し、実数量値対象を拡張する。
• トポス枠組みにおいて単位的変換および群ダイナミクスの整合的な内部表現が欠如している問題を解決する。
• 数量値対象のグロテンディークk拡張を用いて、内部的一般化1パラメータ群の単位的変換を構成する。
• 自己随伴作用素と単位的流れの間の論理的かつ観測者独立な関係を保証する、ストーンの定理のトポス的類似を確立する。
• ねじれられたプレシャーフや外部群作用に依存する従来の定式化の制限を克服する。

提案手法

• アーベルフォン・ノイマン部分代数の半順序集合におけるコンテキスト上の順序を保つおよび順序を逆にする写像のプレシャーフとして実数量値対象を定義する。
• 実および複素数量値対象をトポス内でのアーベル群に変換するため、グロテンディークk拡張を導入する。
• 順序を保つおよび順序を逆にする条件を満たす実数値写像のペアとして複素数量値対象を構成し、一般化された区間対象を形成する。
• k拡張を用いて、実および複素数量値対象に内部アーベル群構造を定義し、代数的演算を可能にする。
• 内部的一般化1パラメータ群の単位的変換を、内部実数直線から複素数量値対象の単位的群への連続な準同型写像として定義する。
• トポスの内部論理内での指数写像による自己随伴作用素が単位的流れを生成することを示すことにより、ストーンの定理のトポス的類似を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子理論のコンテキストカテゴリ上のプレシャーブのトポスにおいて、複素数はどのように内部対象として表現可能か？
• RQ2 ねじれられたプレシャーフを回避する、1パラメータ単位的変換群の適切なトポス的構成は何か？
• RQ3 自己随伴生成子と単位的時間発展を結ぶストーンの定理は、トポスの内部論理内に再構成可能か？
• RQ4 グロテンディークk拡張は、代数的整合性を保つために数量値対象にアーベル群構造をどのように付与できるか？
• RQ5 連続性および内部群構造は、外部時間パrameterなしに単位的ダイナミクスを定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 複素数量値対象は、コンテキストカテゴリ上の順序を保つおよび順序を逆にする写像のペアとして構成され、一般化された区間対象を形成する。
• グロテンディークk拡張により、実および複素数量値対象が内部アーベル群に変換され、トポス内での代数的演算が可能になる。
• 内部的一般化1パラメータ群の単位的変換は、内部実数直線から複素数量値対象の単位的群への連続な準同型写像として定義される。
• トポス的類似のストーンの定理が確立された：任意の自己随伴作用素は指数写像により内部的かつコンテキスト準同型写像に関して共変な単位的流れを生成する。
• ねじれられたプレシャーフの使用を回避し、トポス量子理論における単位的ダイナミクスの整合的かつ観測者独立な定式化が提供される。
• この枠組みは論理的かつ確率的傾向に基づく解釈を支持し、トポス量子理論の非道具的主義的プログラムと整合する。