[論文レビュー] Observables II : Quantum Observables

Hans F. de Groote|ArXiv.org|Sep 30, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、量子演算子をvon Neumann代数の射影格子のStoneスペクトル上の連続関数として表現することにより、量子および古典的観測可能量を統一的な枠組みで扱う。von Neumann代数内の自己共役作用素は、このスペクトル上に連続な観測可能関数を誘導することを確立し、可換な代数ではGelfand変換が特殊な場合として回復されることから、演算子的および関数的視点の両方を統合する。

ABSTRACT

In this work we discuss the notion of observable - both quantum and classical - from a new point of view. In classical mechanics, an observable is represented as a function (measurable, continuous or smooth), whereas in (von Neumann's approach to) quantum physics, an observable is represented as a bonded selfadjoint operator on Hilbert space. We will show in the present part II and the forthcoming part III of this work that there is a common structure behind these two different concepts. If $\mathcal{R}$ is a von Neumann algebra, a selfadjoint element $A \in \mathcal{R}$ induces a continuous function $f_{A} : \mathcal{Q}(\mathcal{P(R)}) o \mathbb{R}$ defined on the \emph{Stone spectrum} $\mathcal{Q}(\mathcal{P(R)})$ (\cite{deg3}) of the lattice $\mathcal{P(R)}$ of projections in $\mathcal{R}$. $f_{A}$ is called the observable function corresponding to $A$. The aim of this part is to study observable functions and its various characterizations.

研究の動機と目的

• 位相空間上の関数としての古典的観測可能量の概念と、自己共役作用素としての量子的観測可能量の概念を統一すること。
• 古典的および量子的観測可能量の背後にある共通の数学的構造——観測可能関数——を確立すること。
• von Neumann代数におけるスペクトル族および層論的構成を用いて、観測可能関数を特徴付けること。
• 可換なvon Neumann代数において、観測可能関数の構成がGelfand変換を回復することを示すこと。
• Stoneスペクトルを一般化された位相空間としての候補とするために、その位相的および代数的性質を調査すること。

提案手法

• von Neumann代数Rの射影格子P(R)の最大双対イデアルの空間として、StoneスペクトルQ(P(R))を定義する。
• 自己共役作用素A ∈ Rのスペクトル族E^Aを用いて、Q(P(R)) → ℝへの観測可能関数f_Aを構成する。
• a ∈ P(R)に対してQ_a(R) = {𝔹 ∈ Q(R) | a ∈ 𝔹}と定義される集合によって生成される位相をStoneスペクトルに導入する。
• 観測可能関数を、Aのスペクトルに等しい値域を持つ、Q(R)上の連続な実数値関数として特徴付ける。
• 特に射影格子上の前層を用いて、層論的技法により観測可能関数をスペクトル族から導出する。
• 可換なRに対して、写像A ↦ f_AがGelfand変換に一致し、コンパクト作用素に対しては、観測可能関数が連続準点上で消え、原子的準点上で無限遠で消えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子観測可能量は、古典的および量子の枠組みを統合する位相空間上の関数としてどのように表現できるか？
• RQ2 von Neumann代数Rに対して、StoneスペクトルQ(P(R))の位相的および代数的構造は何か？
• RQ3 自己共役作用素A ∈ Rに付随する観測可能関数f_Aが、Gelfand変換と一致する条件は何か？
• RQ4 観測可能関数f_Aの性質は、そのスペクトルのようなAのスペクトル的性質とどのように関係するか？
• RQ5 原子的および連続的準点が、コンパクト作用素および一般の自己共役作用素を特徴付けるためにStoneスペクトルで果たす役割は何か？

主な発見

• 自己共役作用素A ∈ Rに付随する観測可能関数f_A: Q(R) → ℝは連続であり、その値域はAのスペクトルに等しい。
• 可換なvon Neumann代数Rの場合は、写像A ↦ f_Aは等長的であり、Gelfand変換と一致する。
• 原子的準点の集合Q(R)_atは、Q(R)において開かつ離散的で、Q(R)に稠密である。一方、連続的準点の集合Q(R)_cは、その閉じた補集合である。
• H上の最大可換von Neumann部分代数M ⊆ L(H)に対して、Gelfand変換は、コンパクト作用素のイデアルK(M)と、Q(M)_c上で消える連続関数のイデアルの間の等長的同型に制限される。
• 関数fがQ(M)_c上で消えるという条件は、fがQ(M)_at上で無限遠で消えることを意味し、逆にQ(M)_atがQ(M)に稠密であれば、その逆も成り立つ。
• Q(M)_c上で消える任意の連続関数f: Q(M) → ℂは、有限個の台を持つ関数の一致収束極限として表され、これは有限ランク作用素に対応するため、fはコンパクト作用素の観測可能関数である。