[論文レビュー] Complex Tropical Currents, Extremality, and Approximations

Farhad Babaee|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$(\mathbb{C}^*)^n$ 上の tropical $p$-サイクルを、Log 写像の逆像を介して関連付ける、tropical な電流（normal, closed (p,p)-次元電流）を導入する。これらの電流が正の閉 $(p,p)$-電流の錐内で強く極値的（strongly extremal）であるための十分な組合せ的条件を確立し、このような極値的 tropical 電流が代数的サイクルのアモーバの正規化された電流の極限として得られることを示す。これにより、tropical 幾何学と複素解析および電流論が結びつけられる。

ABSTRACT

To a tropical $p$-cycle $V_{\mathbb{T}}$ in $\mathbb{R}^n$, we naturally associate a normal closed and $(p,p)$-dimensional current on $(\mathbb{C}^*)^n$ denoted by $\mathscr{T}_n^p(V_{\mathbb{T}})$. Such a "tropical current" $\mathscr{T}_n^p(V_{\mathbb{T}})$ will not be an integration current along any analytic set, since its support has the form ${ m Log\,}^{-1}(V_{\mathbb{T}})\subset (\mathbb{C}^*)^n$, where ${ m Log\,}$ is the coordinate-wise valuation with $\log(|.|)$. We remark that tropical currents can be used to deduce an intersection theory for effective tropical cycles. Furthermore, we provide sufficient (local) conditions on tropical $p$-cycles such that their associated tropical currents are "strongly extremal" in $\mathcal{D}'_{p,p}((\mathbb{C}^*)^n)$. In particular, if these conditions hold for the effective cycles, then the associated currents are extremal in the cone of strongly positive closed currents of bidimension $(p,p)$ on $(\mathbb{C}^*)^n$. Finally, we explain certain relations between approximation problems of tropical cycles by amoebas of algebraic cycles and approximations of the associated currents by positive multiples of integration currents along analytic cycles.

研究の動機と目的

• $(\mathbb{C}^*)^n$ 上の tropical $p$-サイクルに対応する tropical 電流を、Log 写像の逆像を用いて定義し、それらを研究すること。
• これらの tropical 電流が正の閉 $(p,p)$-電流の錐内で強く極値的であることを保証する、局所的な組合せ的十分条件を確立すること。
• 代数的サイクルのアモーバによる tropical サイクルの近似と、それに対応する tropical 電流の解析的サイクルに沿った統合電流による近似を結びつけること。
• tropical 多項式の Monge-Ampère 測度を用いて、有効な tropical サイクルの交差論を構築すること。

提案手法

• $V_\mathbb{T}$ を tropical $p$-サイクルとする。$\mathrm{Log}^{-1}(V_\mathbb{T})$ 上の測度の押し出しとして、$(\mathbb{C}^*)^n$ 上の電流 $\mathscr{T}_n^p(V_\mathbb{T})$ を構成する。
• 多面体複体 $\mathcal{P}$ におけるバランスの条件が満たされれば、$\mathscr{T}_n^p(V_\mathbb{T})$ が閉じていて正規であることを証明する。これにより電流の定義が正当化される。
• 各ファセット $W$ において、射影された原始的ベクトル $\{h_W(v_i)\}$ が $W^\perp$ を張り、かつ集合として線形独立であることを要件とすることで、強い極値性を確立する。
• tropical 超曲面が、$q$ を tropical 多項式として $dd^c[q \circ \mathrm{Log}]$ の形の電流に対応することを示し、複素解析における既知の公式と関連付ける。
• 正規化 $\lambda_m = m^{n-p}$ と $\Phi_m$ を用いた引き戻しにより、$\mathscr{T}_n^p(V_\mathbb{T})$ に収束する電流の列を構成する。
• もし $V_\mathbb{T}$ が代数的サイクルのアモーバによって集合的に近似可能であれば、$\mathscr{T}_n^p(V_\mathbb{T})$ は $(\mathbb{C}^*)^n$ 上の解析的サイクルに沿った統合電流の錐の閉包に属することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 tropical $p$-サイクルのどのような組合せ的条件が、$(\mathbb{C}^*)^n$ 上の正の閉 $(p,p)$-電流の錐内でその関連する tropical 電流を強く極値的にするか？
• RQ2 有効な tropical サイクルに関連する tropical 電流は、代数的サイクルのアモーバに沿った正規化された統合電流の極限として実現可能か？
• RQ3 すべての極値的 tropical 電流が、近似可能なサイクルから生じるのか、それとも近似可能でないサイクルに由来する極値的電流が存在するのか？
• RQ4 tropical 多項式の Monge-Ampère 測度から、tropical サイクルの交差論をどのように回復できるか？
• RQ5 tropical 電流の構成を無限大の tropical サイクルへと拡張可能か？

主な発見

• tropical サイクルがバランスの条件を満たしていれば、$\mathscr{T}_n^p(V_\mathbb{T})$ は $(\mathbb{C}^*)^n$ 上の正規で閉じた $(p,p)$-電流として適切に定義される。
• 各ファセット $W$ において、射影された原始的ベクトル $\{h_W(v_i)\}$ が $W^\perp$ を張り、かつ集合として線形独立であれば、$\mathscr{T}_n^p(V_\mathbb{T})$ は強く極値的である。
• tropical 超曲面は、$q$ を tropical 多項式として $dd^c[q \circ \mathrm{Log}]$ の形の電流に対応し、これにより Monge-Ampère 測度を用いた交差論が得られる。
• 任意の強く極値的な tropical 電流 $\mathscr{T}_n^p(V_\mathbb{T})$ に対して、$V_\mathbb{T}$ が代数的サイクルのアモーバによって集合的に近似可能であれば、$\mathscr{T}_n^p(V_\mathbb{T})$ は $(\mathbb{C}^*)^n$ 上の解析的サイクルに沿った統合電流の錐の閉包に属する。すなわち、$\mathscr{T}_n^p(V_\mathbb{T}) \in \overline{\mathcal{I}^p((\mathbb{C}^*)^n)}$ である。
• 集合的近似条件のもとで、$m \to \infty$ のとき、正規化された引き戻しの極限 $\frac{1}{m^{n-p}} \Phi_m^* [X_{e^m}]$ は $\mathscr{T}_n^p(V_\mathbb{T})$ の正の定数倍に収束する。
• $\mathbb{CP}^n$ 上への $\mathscr{T}_n^p(V_\mathbb{T})$ のゼロ拡張は、近似する代数的サイクルが無限遠の座標超平面を避ける限り、$\mathbb{CP}^n$ 上の統合電流の錐の閉包に属する。