[論文レビュー] Complexifications of infinite-dimensional manifolds and new constructions of infinite-dimensional Lie groups

Rafael Dahmen, Helge Glöckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、正則で可度化可能な局所凸空間に倣った無限次元実解析的多様体のコンパクト部分集合の開近傍について、複素化の存在と一意性を確立する。また、バナッハ＝リー群 $H$ への $Κ$-解析的写像の芽の群に、$C^0$-正則な複素解析的リー群構造を構成し、以前の便利な微積分枠組みでの結果を拡張し、電流群やループ群のような無限次元リー群の新たな構成を可能にする。

ABSTRACT

Let M be a real analytic manifold modeled on a locally convex space and K be a non-empty compact subset of M. We show that if an open neighborhood of K in M admits a complexification which is a regular topological space, then the germ of the latter (as a complex manifold) is uniquely determined. If M is regular and the complexified modeling space of M is normal, then a regular complexification exists for some neighborhood of K. For each (real or complex) analytic regular manifold M modeled on a metrizable locally convex space and Banach-Lie group H, this allows the group Germ(K,H) of germs of H-valued analytic maps around K in M to be turned into an analytic Lie group which is regular in Milnor's sense. A special case is a regular real analytic Lie group structure on the group of real analytic H-valued maps on a compact real analytic manifold M (which, previously, had only been treated in the convenient setting of analysis). Combining our results concerning groups of germs with an idea by Neeb and Wagemann, one can also obtain a regular Lie group structure on the group of all real analytic H-valued mappings on the real line.

研究の動機と目的

• 無限次元実解析的多様体のコンパクト部分集合の開近傍について、複素化の存在と一意性を確立すること。
• コンパクト集合 $K$ の周囲における $Κ$-解析的 $H$-値写像の芽の群に、$C^0$-正則な複素解析的リー群構造を構成すること。
• 便利な微積分の枠組みを超えて、$C^\omega(M,H)$ および $C^\omega(\mathbb{R},H)$ のような写像群に $C^0$-正則構造を提供することにより、無限次元リー群理論を拡張すること。
• モデル空間および多様体の正則性条件下で、古典的なブルハート＝ホイットニーの貼り合わせ法を無限次元多様体に一般化すること。

提案手法

• 実解析的チャートの局所的解析的拡張に依拠して、ブルハート＝ホイットニーの複素化の貼り合わせ構成を無限次元多様体に適応する。
• 多様体およびそのモデル空間に正則性と正規性の仮定をおくと、コンパクト集合 $K$ の周囲における複素化の芽の一意性を証明する。
• 多様体 $M$ が正則で、複素化されたモデル空間 $E_{\mathbb{C}}$ が正規であるとき、ある $K$ の開近傍 $Ω$ に対して、正則な複素化 $Ω^*$ が存在することを確立する。
• $H$-値写像の解析的拡張を通じて、バナッハ＝リー群の射影極限としてリー群 $\operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,H)$ を構成する。
• 芽のリー代数 $\operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,\mathfrak{h})$ におけるバーカー＝キャンベル＝ハウスドルフ（BCH）公式を用いて局所的解析的乗法を定義し、局所的正則性を保証する。
• 群論的拡張結果（命題 5.6）を適用して、共役不変性および随伴作用の解析性を用いて、局所リー群構造を全芽群に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元実解析的多様体のコンパクト部分集合の開近傍に複素化が存在する条件は何か？
• RQ2 コンパクト集合の周囲における複素化の芽は一意に定まるか？ どのような位相的仮定が必要か？
• RQ3 コンパクト多様体上の $Κ$-解析的 $H$-値写像の芽の群に $C^0$-正則リー群構造を導入できるか？
• RQ4 無限次元リー群理論を便利な微積分の枠組みを超えて、$C^0$-正則性を含む形に拡張するにはどうすればよいか？
• RQ5 共役作用が解析的であるための条件は何か？ これにより、リー代数の芽上のグローバルなリー群構造が可能になる。

主な発見

• 任意の空でないコンパクト部分集合 $K$ を持つ正則な実解析的多様体 $M$（可度化可能な局所凸空間に倣う）に対して、$K$ のある開近傍 $Ω$ が存在し、その上に正則な複素化 $Ω^*$ が存在する。
• 多様体 $M$ が正則で、複素化されたモデル空間 $E_{\mathbb{C}}$ が正規であるという仮定の下で、$K$ の周囲における複素化の芽は、複素解析的多様体として一意に定まる。
• $K$ 上の $Κ$-解析的 $H$-値写像の芽の群 $\operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,H)$ は、$Κ$-解析的リー群構造をもち、ミルナーの意味で $C^0$-正則である。
• コンパクトな実解析的多様体 $M$ 上の実解析的 $H$-値写像の群 $C^\omega(M,H)$ は、$C^0$-正則リー群構造を誘導し、文献における空白を埋める。
• ネーブ＝ワーゲマンのアイデアの適応により、$C^\omega(\mathbb{R},H)$ に対しても、この電流群に $C^0$-正則リー群構造が得られる。
• 指数写像 $\Phi: \operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,\mathfrak{h}) \to \operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,H)$ は、単位元の近傍で局所的解析的微分同相写像であり、BCH級数および群拡張技法の利用が可能になる。