[論文レビュー] Complexity of quantum circuits via sensitivity, magic, and coherence

Kaifeng Bu, Roy J. Garcia+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 87被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、量子回路の複雑さと3つの主要な量子資源—感度、マジック、コherence—の間の基礎的関係を確立する。これは、量子ブール関数におけるフーリエエントロピー・インフルエンス（FEI）予想の量子版を導入することで達成される。ゼロ感度のユニタリ操作がちょうどマッチゲートに一致することを証明し、量子優位性のためには感度が必須であることを示し、マジックとコherenceを用いて回路複雑さの上限を導出する。これにより、量子スピードアップとシミュレーションの限界を理解するための新しいツールが提供される。

ABSTRACT

Quantum circuit complexity-a measure of the minimum number of gates needed to implement a given unitary transformation-is a fundamental concept in quantum computation, with widespread applications ranging from determining the running time of quantum algorithms to understanding the physics of black holes. In this work, we study the complexity of quantum circuits using the notions of sensitivity, average sensitivity (also called influence), magic, and coherence. We characterize the set of unitaries with vanishing sensitivity and show that it coincides with the family of matchgates. Since matchgates are tractable quantum circuits, we have proved that sensitivity is necessary for a quantum speedup. As magic is another measure to quantify quantum advantage, it is interesting to understand the relation between magic and sensitivity. We do this by introducing a quantum version of the Fourier entropy-influence relation. Our results are pivotal for understanding the role of sensitivity, magic, and coherence in quantum computation.

研究の動機と目的

• 感度、マジック、コherenceが量子回路複雑さに果たす役割を理解すること。
• 古典的フーリエエントロピー・インフルエンス（FEI）予想の量子版を、量子ブール関数に対して確立すること。
• ゼロ感度を持つユニタリ操作を同定し、それらが古典的にシミュレート可能なマッチゲートのクラスに一致することを示すこと。
• マジック、つまり非安定化資源の尺度を回路複雑さと感度に結びつけること。
• コherenceと感度を用いて、量子回路複雑さの新たな下界を提供すること。

提案手法

• カルレンとライブのノイズ作用素を用いて、ブール関数からユニタリ操作への感度の概念を一般化する。
• 量子状態と演算子の感度とマジックの解析を可能にするために、離散ウィグナー関数とシンプレクティックフーリエ変換を用い、フーリエエントロピー・インフルエンス（FEI）関係の量子版を導入する。
• 離散ウィグナー関数とシンプレクティックフーリエ変換を用いて、量子状態と演算子を表現し、感度とマジックの分析を可能にする。
• 曲がった幾何における測地線距離としての回路コストの概念を適用し、回路複雑さの上限を導出する。
• 平均スクラッチングと平均感度の関係を導出し、動的複雑さと構造的感度を結びつける。
• ゴットスマン＝クニル定理と安定化子形式を用いて、ゼロ感度を持つ唯一のユニタリ操作がマッチゲートであることを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子回路複雑さとユニタリ操作の感度の間にはどのような関係があるか？
• RQ2 量子フーリエエントロピー・インフルエンス（FEI）予想は、マジックと回路複雑さをどのように結びつけるか？
• RQ3 感度がゼロであるユニタリ操作は何か、それらの計算的意義は何か？
• RQ4 感度は量子計算的速度向上のための必要条件として機能しうるか？
• RQ5 コherenceとマジックは、量子回路の複雑さを決定づけるためにどのように相互作用するか？

主な発見

• 回路感度がゼロである—すなわち安定ユニタリ—は、ちょうどマッチゲートに一致する。マッチゲートは古典的にシミュレート可能な量子回路のクラスである。
• 感度は、量子計算的優位性のための必要条件である。なぜなら、感度がゼロであるのはマッチゲートのみだからである。
• 本稿は、ウィグナー関数のフーリエエントロピーと観測可能量のインフルエンスを結びつける量子FEI予想のバージョンを確立した。
• 量子状態のマジックを用いて回路複雑さの上限を導出し、マジックが高くなるほど複雑さが高くなる傾向があることを示した。
• 量子回路の平均感度は、その平均スクラッチングと関係しており、感度に動的解釈を与える。
• 離散ウィグナー関数とシンプレクティックフーリエ変換は、位相空間分布を用いて量子回路複雑さを表現する枠組みを提供する。