[論文レビュー] Composite Invariants and Unoriented Topological String Amplitudes

Chandrima Paul, Pravina Borhade+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、フレーム付きの絡み目とリンク上でU(N)ゲージ理論における合成表現を用いて、c=0,1,2のクロスキャップ振幅を抽出することで、非方向的トポロジカル弦振幅を計算するフレームワークを提案する。この手法により、一般化されたルドルフの定理とマリーノの整数性予想を検証し、オリエンティフォールド化された解体コンイフォールドに対する明示的なBPS不変量を提供する。

ABSTRACT

Sinha and Vafa had conjectured that the $SO$ Chern-Simons gauge theory on $S^3$ must be dual to the closed $A$-model topological string on the orientifold of a resolved conifold. Though the Chern-Simons free energy could be rewritten in terms of the topological string amplitudes providing evidence for the conjecture, we needed a novel idea in the context of Wilson loop observables to extract cross-cap $c=0,1,2$ topological amplitudes. Recent paper of Marino based on the work of Morton and Ryder has clearly shown that the composite representation placed on the knots and links plays a crucial role to rewrite the topological string cross-cap $c=0$ amplitude. This enables extracting the unoriented cross-cap $c=2$ topological amplitude. In this paper, we have explicitly worked out the composite invariants for some framed knots and links carrying composite representations in U(N) Chern-Simons theory. We have verified generalised Rudolph's theorem, which relates composite invariants to the invariants in SO(N) Chern-Simons theory, and also verified Marino's conjectures on the integrality properties of the topological string amplitudes. For some framed knots and links, we have tabulated the BPS integer invariants for cross-cap $c=0$, $c=1$ and $c=2$ giving the open-string topological amplitude on the orientifold of the resolved conifold.

研究の動機と目的

• 解体コンイフォールドのオリエンティフォールド上の非方向的トポロジカル弦理論へのオープン・クローズド双対性の拡張を図ること。
• U(N)ゲージ理論におけるウィルソン環観測量を用いて、合成表現を通じてクロスキャップ振幅（c=0,1,2）を抽出すること。
• U(N)の合成不変量とSO(N)不変量との関係を示す一般化されたルドルフの定理の検証。
• 非方向的理論の文脈において、マリーノのトポロジカル弦振幅の整数性予想の検証。
• オリエンティフォールド化された解体コンイフォールド背景におけるフレーム付きの絡み目とリンクに対する明示的なBPS整数不変量の提供。

提案手法

• U(N)ゲージ理論における合成表現を用いて、基本表現を超える絡み目とリンクの不変量を計算する。
• ラバスタイダ＝マリーノの群論的アプローチを適用し、不変量をシュール多項式とq級数の形に再定式化する。
• マリーノ[2]およびモートン＝ライダー[3]のフレームワークを用いて、クロスキャップ振幅を符号する合成不変量を同定する。
• 行列モデルとゲージ理論の手法を用いて、フレーム付きの輪とホープ・リンクのトポロジカル弦振幅（g_{R}）の明示的表現を導出する。
• SO(N)ゲージ理論の自由エネルギーを非ねじれ項とねじれ項に分解することで、非方向的寄与を分離する。
• q級数とλ多項式の構造を分析することで、自由エネルギー展開における係数の整数性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(N)ゲージ理論における合成不変量は、オリエンティフォールド化された解体コンイフォールド上での非方向的トポロジカル弦振幅（c=2）をどのように抽出できるか？
• RQ2 SO(N)双対性の文脈において、合成表現は一般化されたルドルフの定理をどの程度満たすか？
• RQ3 合成不変量を用いて計算されたトポロジカル弦振幅は、マリーノの整数性予想を満たすか？
• RQ4 非方向的トポロジカル弦理論の枠組みにおいて、フレーム付きの絡み目とリンクに対する明示的なBPS整数不変量は何か？
• RQ5 クロスキャップ振幅（c=0,1,2）は体系的に計算可能であり、SO(N)ゲージ理論の自由エネルギー展開と一致するか？

主な発見

• 本稿では、U(N)ゲージ理論におけるフレーム付きの輪とホープ・リンクについて、合成不変量を明示的に計算し、qとλの関数としてg_{R}の閉形式表現を導出する。
• フレーム付きの輪（フレーム数p）に対して、g_{\begin{picture}(0.55,0.5)\put(0.0,0.0){\line(1,0){0.4}} \put(0.0,0.4){\line(1,0){0.4}} \put(0.0,-0.4){\line(1,0){0.4}} \put(0.0,0.0){\line(0,0){0.4}}\put(0.4,0.0){\line(0,0){0.4}} \put(0.0,0.0){\line(0,-1){0.4}}\put(0.4,0.0){\line(0,-1){0.4}} \end{picture}} は、qとλの有理関数として明示的に導出され、フレーム数pに依存する明確な依存関係を持つ。
• フレーム数p₁とp₂を持つホープ・リンクに対して、g_{\begin{picture}(0.55,0.5)\put(0.0,0.0){\line(1,0){0.4}} \put(0.0,0.4){\line(1,0){0.4}} \put(0.0,0.0){\line(0,1){0.4}}\put(0.4,0.0){\line(0,1){0.4}} \end{picture},\begin{picture}(0.55,0.5)\put(0.0,0.0){\line(1,0){0.4}} \put(0.0,0.4){\line(1,0){0.4}} \put(0.0,0.0){\line(0,1){0.4}}\put(0.4,0.0){\line(0,1){0.4}} \end{picture}} および g_{\begin{picture}(1.1,0.5)\put(0.0,0.0){\line(1,0){0.8}} \put(0.0,0.4){\line(1,0){0.8}} \put(0.0,0.0){\line(0,1){0.4}}\put(0.4,0.0){\line(0,1){0.4}}\put(0.8,0.0){\line(0,1){0.4}} \end{picture},\begin{picture}(0.55,0.5)\put(0.0,0.0){\line(1,0){0.4}} \put(0.0,0.4){\line(1,0){0.4}} \put(0.0,0.0){\line(0,1){0.4}}\put(0.4,0.0){\line(0,1){0.4}} \end{picture}} は、p₁, p₂, q, λに明示的な依存関係を持つ形で導出された。
• すべての計算された再定式化多項式（g_R）は、マリーノの整数性予想を満たしており、BPS状態の数え上げに必要な係数N_{R,Q,s}が整数であることが確認された。