[論文レビュー] Compressed sensing with local structure: uniform recovery guarantees for the sparsity in levels class

Chen Li, Ben Adcock|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、部分的等長性を用いた圧縮センシングにおけるスパarsity in levels モデルに対する、初めての一様回復保証を確立する。著者らは、新規のレベル別制限等長性（RIPL）を導入し、従来の非一様保証よりも単純な条件下で回復が可能であることを示し、特にハールウェーブレットを用いたフーリエサンプリングにおいて、相対的スパarsityの要件を排除し、局所的相互相関係数を低減することで、結果を改善する。

ABSTRACT

In compressed sensing, it is often desirable to consider signals possessing additional structure beyond sparsity. One such structured signal model - which forms the focus of this paper - is the local sparsity in levels class. This class has recently found applications in problems such as compressive imaging, multi-sensor acquisition systems and sparse regularization in inverse problems. In this paper we present uniform recovery guarantees for this class when the measurement matrix corresponds to a subsampled isometry. We do this by establishing a variant of the standard restricted isometry property for sparse in levels vectors, known as the restricted isometry property in levels. Interestingly, besides the usual log factors, our uniform recovery guarantees are simpler and less stringent than existing nonuniform recovery guarantees. For the particular case of discrete Fourier sampling with Haar wavelet sparsity, a corollary of our main theorem yields a new recovery guarantee which improves over the current state-of-the-art.

研究の動機と目的

• 圧縮センシングにおけるスパarsity in levels のクラスに対する一様回復保証を確立すること。
• 局所的スパarsityを持つ構造的信号に適した制限等長性（RIP）を拡張し、レベル別制限等長性（RIPL）を導入すること。
• 測定行列としての部分的等長性の分析を行い、それらが穏やかな条件下で RIPL を満たすことを証明すること。
• 従来の非一様回復保証を改善し、相対的スパarsityに依存しないようにし、局所的相互相関係数を低減すること。
• 離散的フーリエサンプリングとハールウェーブレットスパarsityの組み合わせに対して、一様回復保証を提供し、現在の最先端技術を凌駕すること。

提案手法

• 著者らは、レベル別スパースベクトルに特化したRIPの新規な変種を定義し、レベル別制限等長性（RIPL）と呼ぶ。
• 彼らは、等長性のランダム部分サンプリングが、サンプリング分布に穏やかな条件が満たされれば、高確率でRIPLを満たすことを証明する。
• 証明技法は標準的なRIPの議論を拡張しているが、レベル別スパarsity制約を組み込み、大きなtに対する被覆数推定値を修正している。
• 重要なステップとして、等長性不変性と射影演算子を用いて、測定射影の期待二乗ノルムを評価する。
• 集中不等式（例：[24, Thm. 8.42]）を活用して、等長性定数の平均からの逸脱を制御する。
• 最終的なバウンドは、モーメント推定値と尾確率バウンドを組み合わせることで得られ、一様回復保証に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的等長性を用いたスパarsity in levels モデルに対して、一様回復保証を確立できるか？
• RQ2 同じモデルにおける一様回復の測定要件は、既存の非一様保証と比べてどのように異なるか？
• RQ3 部分的等長性に対して、レベル別制限等長性（RIPL）が成立することを証明できるか？
• RQ4 新しい一様保証は、従来の非一様結果で用いられていた相対的スパarsity仮定の必要性を排除できるか？
• RQ5 フーリエサンプリングとハールウェーブレットスパarsityの組み合わせにおいて、新しい一様保証はどの程度改善をもたらすか？

主な発見

• 本稿は、部分的等長性を用いたスパarsity in levels モデルに対する、初めての一様回復保証を確立し、ℓ¹最小化による安定的・ロバストな回復を保証する。
• 部分的等長性が満たすRIPLは、測定数が Qδ⁻² log(ε⁻¹) ≲ 1 および Qδ⁻²r log(2m̃) log(2N) log²(2s) ≲ 1 を満たす場合に、高確率で成立する。
• 一様回復の条件は、従来の非一様保証よりも単純かつ厳しくない。相対的スパarsity や大きな局所的相互相関係数の要件を必要としない。
• 離散的フーリエサンプリングとハールウェーブレットスパarsityの組み合わせにおいて、新しい一様保証は、制限的な仮定を排除することで、現在の最先端技術を凌駆する。
• 解析から、レベル数rに関する2次関数的依存は証明の結果としての副産物であることが判明し、洗練された技術を用いることでより緊密なバウンドが得られる可能性がある。
• 本結果は、無限次元圧縮センシングへの一様回復の拡張や、ウォルシュ＝ハダマール測定などの他の構造的サンプリングモデルへの応用の道を開く。