[論文レビュー] On the absence of the RIP in real-world applications of compressed sensing and the RIP in levels

Alexander Bastounis, Anders C. Hansen|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 44被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、MRI や CT、電子顕微鏡などの実世界の圧縮センシング応用において、レベルベースの再構成基底の構造により、制限等長性性質（RIP）が成立しないことを示している。これを解決するために、著者らは「レベルにおける制限等長性性質」（RIP-L）を導入し、各スパースネスレベル内で一様な回復が可能となる一般化された枠組みを提供することで、実用的圧縮センシングの成功をより正確に理論的に裏付けるものである。

ABSTRACT

The purpose of this paper is twofold. The first is to point out that the Restricted Isometry Property (RIP) does not hold in many applications where compressed sensing is successfully used. This includes fields like Magnetic Resonance Imaging (MRI), Computerized Tomography, Electron Microscopy, Radio Interferometry and Fluorescence Microscopy. We demonstrate that for natural compressed sensing matrices involving a level based reconstruction basis (e.g. wavelets), the number of measurements required to recover all $s$-sparse signals for reasonable $s$ is excessive. In particular, uniform recovery of all $s$-sparse signals is quite unrealistic. This realisation shows that the RIP is insufficient for explaining the success of compressed sensing in various practical applications. The second purpose of the paper is to introduce a new framework based on a generalised RIP-like definition that fits the applications where compressed sensing is used. We show that the shortcomings that show that uniform recovery is unreasonable no longer apply if we instead ask for structured recovery that is uniform only within each of the levels. To examine this phenomenon, a new tool, termed the 'Restricted Isometry Property in Levels' is described and analysed. Furthermore, we show that with certain conditions on the Restricted Isometry Property in Levels, a form of uniform recovery within each level is possible. Finally, we conclude the paper by providing examples that demonstrate the optimality of the results obtained.

研究の動機と目的

• 実世界の応用における圧縮センシングの成功を支える要因としての制限等長性性質（RIP）の仮定に挑戦すること。
• 特にウェーブレットなどのレベルベースの再構成基底を用いる場合、多くの実用的圧縮センシング行列に対してRIPが成立しないことを実証すること。
• 実世界の圧縮センシング問題の構造をよりよく捉えるために、RIPの一般化としての新しい理論的枠組み「レベルにおけるRIP（RIP-L）」を構築すること。
• RIP-Lのもとで、グローバルな一様回復が不可能であっても、各スパースネスレベル内で一様回復が可能であることを示すこと。
• RIP-L枠組みの最適性と実用的関連性を裏付ける理論的および数値的証拠を提供すること。

提案手法

• 実応用における特定の行列に対してRIPを否定する実用的手段として「フラップテスト」を導入する。
• 回復が所定のスパースネスレベル内でのみ一様であるという点で古典的RIPを一般化した「レベルにおける制限等長性性質（RIP-L）」を提唱する。
• パラメータ $\mathbf{s}$ と $\mathbf{M}$ を用いたブロック構造のスパースネスパターンを定義し、各レベル内での構造的回復を可能にする。
• RIP-L下でのロバストなヌル空間性質を分析し、安定的かつロバストな $\ell^1$-最小化回復のための条件を確立する。
• パラメータ $C$、$\rho$、$\tau$ に依存する行列を用いた反例を構築し、古典的RIPの不成立とRIP-Lの有効性を実証する。
• コーシー・シュワルツと $\ell^1$-$\ell^2$ ノルム不等式を用いて、RIP-L下での回復誤差の境界を導出し、ヌル空間性質の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ古典的制限等長性性質（RIP）はMRI や CT などの実世界の圧縮センシング応用で成立しないのか？
• RQ2 ウェーブレットなどのレベルベースの再構成基底の構造は、妥当なスパースネスレベルにおいてRIPの成立をどの程度妨げるのか？
• RQ3 実際の圧縮センシングの回復行動をよりよくモデル化できる一般化されたRIP枠組みを構築可能か？
• RQ4 レベルにおける制限等長性性質（RIP-L）は、どのような条件下で各スパースネスレベル内での一様回復を可能にするか？
• RQ5 測定数の複雑さと回復安定性の観点から、RIP-Lの理論的保証は古典的RIPと比べてどの程度優れているか？

主な発見

• MRI や CT、電子顕微鏡、その他の実世界の応用における圧縮センシング行列に対して、レベルベースの再構成基底の構造により、古典的RIPは成立しない。
• ウェーブレットに基づくスパースネスを持つ実用的行列では、すべての $s$-スパース信号のグローバルな一様回復を古典的RIPが満たすために必要な測定数は、現実的ではなく過剰である。
• グローバルな一様回復が不実行であるのを避けるために、各スパースネスレベル内で一様回復が可能な「レベルにおける制限等長性性質（RIP-L）」が導入された。
• RIP-Lに特定の条件下で、古典的RIPが失敗しても、各レベル内で安定的かつロバストな $\ell^1$-最小化回復が可能である。
• 理論的反例により、$C^2$ および $\omega(\rho,C)$ を含むスパースネスパターンを持つ行列では古典的RIPが不成立であることが実証され、一方RIP-Lは依然として有効であることが示された。
• 大きな $\eta_{\mathbf{s,M}}$ に対して $\|z - z^1\|_2 = 1 > \frac{\sigma_{\mathbf{s,M}}(z^1)_1}{\sqrt{\tilde{s}}} f(\eta_{\mathbf{s,M}})$ が成り立つことが示され、古典的RIPの不成立が確認され、RIP-Lの必要性が裏付けられた。