[論文レビュー] Compressive sensing Petrov-Galerkin approximation of high-dimensional parametric operator equations

Holger Rauhut, Christoph Schwab|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2014

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高次元パラメトリック作用素方程式の解の汎関数を、テンソル化されたチェビシェフ多項式におけるスパース多項式クラウド展開を活用して、効率的に近似するための圧縮センシング・プローベィング・ガレルキン（CSPG）法を導入する。この手法は、パラメトリック入力の正則性にやや弱い仮定のもとで、高い確率で、$ L_2 $ および $ L_∞ $ 収束速度が、対数要因を除いて最良の $ s $-項近似と一致することを確立する。

ABSTRACT

We analyze the convergence of compressive sensing based sampling techniques for the efficient evaluation of functionals of solutions for a class of high-dimensional, affine-parametric, linear operator equations which depend on possibly infinitely many parameters. The proposed algorithms are based on so-called "non-intrusive" sampling of the high-dimensional parameter space, reminiscent of Monte-Carlo sampling. In contrast to Monte-Carlo, however, a functional of the parametric solution is then computed via compressive sensing methods from samples of functionals of the solution. A key ingredient in our analysis of independent interest consists in a generalization of recent results on the approximate sparsity of generalized polynomial chaos representations (gpc) of the parametric solution families, in terms of the gpc series with respect to tensorized Chebyshev polynomials. In particular, we establish sufficient conditions on the parametric inputs to the parametric operator equation such that the Chebyshev coefficients of the gpc expansion are contained in certain weighted $\ell_p$-spaces for $0

研究の動機と目的

• 高次元パラメトリック作用素方程式の解の汎関数を近似する非侵襲的かつサンプリングベースの手法を開発すること。
• 一般化された多項式クラウド（gpc）展開におけるスパarsityを活用することで、不確実性評価における次元の呪いを克服すること。
• Petrov-Galerkin離散化を用いたパラメトリックPDEへの圧縮センシングの適用に対して、厳密な収束保証を提供すること。
• チェビシェフ係数が $ 0 < p \leq 1 $ に対して重み付き $ \ell_p $-空間に属する条件を確立すること。これにより、スパース回復が可能になる。

提案手法

• 本手法は、解の汎関数の少数のサンプルから、テンソル化されたチェビシェフ多項式クラウド展開におけるスパarsityを活用して、パラメトリック解を再構成する圧縮センシングを用いる。
• 選択されたパrameter点における解のサンプルを計算するために、安定性と精度を保証するPetrov-Galerkin離散化を適用する。
• 本手法は、パラメトリック入力の正則性と係数の減衰に関する仮定の下で、gpc係数列の近似的なスパarsityが証明されることに依存する。
• 必要なサンプル数がスパarsityレベル $ s $ に対してほぼ最適にスケーリングされ、最良の $ s $-項近似と同等の収束速度が達成されることを確立する。
• 近年のgpcスパarsityに関する結果を一般化し、パラメトリック依存性に関する条件下で、$ 0 < p \leq 1 $ に対してチェビシェフ係数の $ \ell_p $-summability を証明する。
• 本手法は非侵襲的かつ並列化可能であり、逐次的なグリーディ法や適応的メソッドとは異なり、複数のパラメータサンプルを同時に評価できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮センシングを、アフィンパラメトリック作用素方程式の高次元パラメトリック解を少数のサンプルから厳密に回復するために適用可能か？
• RQ2 パラメトリック入力にどのような条件下で、解の一般化された多項式クラウド展開が、テンソル化されたチェビシェフ多項式において近似的にスパースになるか？
• RQ3 圧縮センシング・Petrov-Galerkin法の $ L_2 $ および $ L_\infty $ ノルムにおける収束速度は、最良の $ s $-項近似に対してどの程度か？
• RQ4 必要なサンプル数はスパarsityレベル $ s $ に対してどのようにスケーリングされるか？また、収束速度における対数要因の役割は何か？
• RQ5 無限個のパラメータに対しても、次元に依存しない収束速度が、最良の $ s $-項近似と同等に達成可能か？

主な発見

• 本手法は、$ L_2 $ および $ L_\infty $ 収束速度が、対数要因を除いて、パラメトリック解の最良の $ s $-項近似と一致することを達成する。
• 特定の正則性および減衰条件を満たすパラメトリック入力に対して、gpc展開のチェビシェフ係数は $ 0 < p \leq 1 $ に対して重み付き $ \ell_p $-空間に属する。これにより、圧縮センシングによる回復が可能になる。
• 必要なサンプル数は $ C_{\alpha,c} s^{\gamma_{\alpha,c} \log s} $ で有界であり、これは $ s $ に対して指数的でない速度で増加するため、ほぼ最適なサンプリング複雑度を示している。
• パラメトリック依存性が和分可能性条件を満たしていれば、パラメータ数が無限大であっても、高い確率で収束が保証される。
• 従来のgpcスパarsityに関する結果を拡張し、$ p \leq 1 $ に対して $ \ell_p $-summability を確立した。これは、圧縮センシングの成功に不可欠な条件である。
• 本手法は、標準的なモンテカルロ法よりも収束速度が優れており、解評価回数を最小限に抑えつつ、ほぼ最適な $ s $-項近似性能を達成する。