[論文レビュー] Computation at a distance

Samuel Kutin, David Petrie Moulton+1 more|ArXiv.org|Jan 26, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、隣接するキュービット間での操作のみを許す1次元キュービット配列における線形可逆回路の深さ複雑度を研究する。GF(2)上での任意の線形演算が深さ5n以内で実装可能であることを証明し、一部の演算が少なくとも2n+1の深さを要することを示し、加算、スワップ、反転といった基本的演算のタイトな境界を確立する。

ABSTRACT

We consider a model of computation motivated by possible limitations on quantum computers. We have a linear array of n wires, and we may perform operations only on pairs of adjacent wires. Our goal is to build a circuits that perform specified operations spanning all n wires. We show that the natural lower bound of n-1 on circuit depth is nearly tight for a variety of problems, and we prove linear upper bounds for additional problems. In particular, using only gates adding a wire (mod 2) into an adjacent wire, we can realize any linear operation in GL_n(2) as a circuit of depth 5n. We show that some linear operations require depth at least 2n+1.

研究の動機と目的

• 1次元のnキュービット配列上で、隣接キュービットゲートのみを用いて任意の線形可逆操作を実装するために必要な最小深さを特定すること。
• 加算、スワップ、回転、反転といった基本的演算の回路深さに関する既知の下界と上界の差を埋めること。
• 特に反転が少なくとも2n+1の深さを要し、2n+2の深さで実装可能であることを示し、GL_n(2)内の演算に対してタイトな深さ境界を確立すること。
• 構造的および計算的証拠に基づき、GL_n(2)内のある行列の最大深さが4n+O(1)である可能性を検討すること。

提案手法

• 回路をGF(2)上の列ベクトルに作用する基本行列の系列としてモデル化し、各ゲートを単位行列のランク1の摂動として表現する。
• 代数的アプローチを用い、すべての可逆線形操作をGL_n(2)の要素として表現し、ゲートを1つの非対角要素が1の行列（転移行列）に対応付ける。
• 明示的な回路構成を用いて深さ境界を達成する：例えば、遠くの操作を実装するために、CNOTゲートを段階的に連結してデータを配列全体に渡す。
• ランクに基づく議論を用いて下界を導出する：中間行列の総ランクが0から少なくともk−εnに増加する必要があり、これにより少なくとも2k−εn個のゲートが必要となる。
• 一般行列を三角行列形式に再帰的に分解する戦略を用い、Bealsらの既知の回路分解結果を活用する。
• 小規模なn（最大6まで）について全探索を行い、最大回路深さを経験的に評価し、漸近的挙動に関する仮説を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 隣接CNOTゲートのみを用いてn本の線路における加算を実装するために必要な最小深さは何か？
• RQ2 一般の線形演算GL_n(2)の深さは4n+O(1)で上界がつけられ、かつこれがタイトか？
• RQ3 反転深さの下界2n+1はタイトか？それとも2n+2以下に改善可能か？
• RQ4 どのような演算クラス（例：置換、任意の線形写像）に対して、小さな加法的定数を伴って深さO(n)を達成できるか？
• RQ5 GL_n(2)の構造を活用して、長方形配列構成を用いて一般行列の実装を深さ4nにまで低減できるか？

主な発見

• n本の線路における加算は深さn+4で実装可能であり、n−1の下界と小さな加法的定数の差異で一致する。
• 最初と最後の線路を入れ替えるには深さn+8が必要であり、この構成はn本の線路に2キュービットゲートを適用する場合に一般化可能で、深さn+O(1)で実現可能である。
• n本の線路すべての回転は深さn+5で達成可能であり、演算の複雑度に対して下界n−1と一致する。
• n本の線路の反転は少なくとも2n+1の深さを要し、2n+2の深さで実装可能であるため、タイトな境界が確立された。
• GL_n(2)内の任意の行列は深さ5n以内で実装可能であり、この境界はほぼタイトである。なぜなら、ほとんどの行列が少なくとも(2−ε)nの深さを要するからである。
• n≤6の全探索により、n=2から6までの最大深さはそれぞれ3, 8, 10, 13, 14であった。これは最大深さが5nではなく2n+O(1)である可能性を示唆している。