[論文レビュー] Computational Bottlenecks of Quantum Annealing

Sergey Knysh|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、大規模スピンガラス系における量子アニーリングの計算的ボトル neck を O(log N) として同定し、臨界点だけでなくスピンガラス相内でも回避された準位クロスイングに起因する指数的に小さなエネルギー間隔が生じることを示している。2パターンのガウス型ホフホルドモデルを用いた正確な非摂動的手法により、これらのボトル neck が N の分数乗の時間計算量スケーリングを引き起こすことが示され、以前懸念されていたほど深刻な指数的遅延とはならないことが明らかになった。

ABSTRACT

A promising approach to solving hard binary optimisation problems is quantum adiabatic annealing (QA) in a transverse magnetic field. An instantaneous ground state --- initially a symmetric superposition of all possible assignments of $N$ qubits --- is closely tracked as it becomes more and more localised near the global minimum of the classical energy. Regions where the energy gap to excited states is small (e.g. at the phase transition) are the algorithm's bottlenecks. Here I show how for large problems the complexity becomes dominated by $O(\log N)$ bottlenecks inside the spin glass phase, where the gap scales as a stretched exponential. For smaller $N$, only the gap at the critical point is relevant, where it scales polynomially, as long as the phase transition is second order. This phenomenon is demonstrated rigorously for the two-pattern Gaussian Hopfield Model. Qualitative comparison with the Sherrington-Kirkpatrick Model leads to similar conclusions.

研究の動機と目的

• 臨界点を超えた量子アニーリングにおける計算的ボトル neck の起源を理解すること。
• 大規模系におけるスピンガラス相内での回避準位クロスイングの役割を厳密に分析すること。
• 複数の小さなギャップが存在する状況において、時間計算量が多項式のままであるか、指数的になるかを特定すること。
• 摂動論的議論によるスピンガラス内の小さなギャップの妥当性を、非摂動的手法を用いて評価すること。
• 量子アニーリングハードウェアで観測される性能スケーリングの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 2パターンのガウス型ホフホルドモデルを解析するために、正確で摂動論的でない手法を用いる。
• 横磁場の時間発展を、時間に依存するポテンシャルを持つフォッカー＝プランク方程式に従う確率過程としてモデル化する。
• スケーリングのアンザッツを適用し、フォッカー＝プランク方程式を固有値問題を伴う常微分方程式（ODE）に簡略化する。
• エアリー関数を用いて、グローバル最小値付近の最低エネルギー準位の統計を捉える普遍的漸近解を導出する。
• 次元のない時間変数 τ を導入し、(μ, ν, ϑ) 空間におけるマルコフ過程を構築して、系のダイナミクスをシミュレートする。
• 統計を十分に得るため、ポテンシャルをスケーリングし、τ を拡張して数値シミュレーションを実施。結果は要請に応じて提供可能。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜスピンガラス相における量子アニーリングでエネルギー間隔が指数的に小さくなるのか？
• RQ2 大規模系では、このようなボトル neck はいくつ存在し、系のサイズ N に対してどのようにスケーリングするのか？
• RQ3 なぜスピンガラス相内での回避準位クロスイングが、指数的ではなく N の分数乗にのみ依存する時間計算量を引き起こすのか？
• RQ4 スピンガラスにおいて、エネルギー準位の統計の非摂動的挙動は摂動論的予測とどのように異なるのか？
• RQ5 トンネル効果のボトル neck のメカニズムを、確率過程と極値統計を用いて厳密に記述できるか？

主な発見

• スピンガラス相における計算的ボトル neck の数は O(log N) に比例する。臨界点が1つであるのとは異なり、単一の点ではない。
• これらのボトル neck におけるエネルギーギャップは伸びた指数関数的（stretched exponential）にスケーリングし、時間計算量が N の分数乗に増加することを示している。
• ギャップの主な寄与は、ODE 解における最小固有値 α = 1/4 に起因しており、極値統計の既知の結果と整合的である。
• 横磁場 Γ の幾何的等間隔の値において、トンネル遷移の段階的連鎖が観察され、エネルギー障壁の構造的階層性が示唆される。
• 時間計算量は、以前懸念されていたほど深刻ではなく、N の分数乗にのみ指数的遅延が生じる。完全な指数的スケーリングではない。
• 解析により、Γ → 0 の極限においてボトル neck がより容易になることが判明。これは、古典的極限でトンネルが抑制されるという予想とは逆の結果である。