[論文レビュー] Computational Complexity of Tensor Nuclear Norm.

Shmuel Friedland, Lek‐Heng Lim|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 16被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、ノルムとその双対ノルムの双対性を活用して、テンソルの核ノルムを近似することはNP困難であることを確立している。具体的には、核ノルム球の弱-membership問題がNP困難であることは、その双対ノルムに対しても同様に成り立つ。さらに、この結果を量子情報理論に結びつけることで、密度行列の二粒子分離可能性が、関連する4次テンソルの核ノルムが1以下であることと同値であることを示している。

ABSTRACT

Abstract. The main result of this paper is that the weak membership problem in the unit ball of a given norm is NP-hard if and only if the weak membership problem in the unit ball of the dual norm is NP-hard. Equivalently, the approximation of a given norm is polynomial time if and only if the approximation of the dual norm is polynomial time. Using the NP-hardness of the approximation of spectral norm of tensors we prove that the approximation of nuclear norm of tensors is NP-hard. In addition, we show that bipartite separability of a density matrix is equivalent its corresponding 4-tensor having unit nuclear norm, relating these results to quantum information theory. 1.

研究の動機と目的

• テンソルの核ノルムを近似する計算複雑性を確立すること。
• ノルムの弱-membership問題とその双対ノルムとの関係を調査すること。
• テンソルの核ノルムの複雑性を、特に密度行列の二粒子分離可能性に関連付けることで、量子情報理論と結びつけること。
• スぺクトルノルム近似のNP困難性を用いて、核ノルムの困難性を示唆すること。

提案手法

• ノルムとその双対ノルムの双対性を用いて、一方の弱-membership問題のNP困難性が、双対ノルムに対しても成立することを示している。
• 既知のテンソルのスぺクトルノルム近似のNP困難性を応用し、核ノルム近似のNP困難性を導出している。
• 密度行列の4次テンソル表現を構築し、分離可能性と核ノルムが1以下であることの関係を明確にしている。
• 弱-membership問題を用いて、ノルム近似の意思決定問題を形式化し、複雑性理論的解析を可能にしている。
• 二粒子分離可能性と対応する4次テンソルの単位核ノルムとの等価性に依拠している。
• ノルム近似と双対ノルム近似が多項式時間で同等に可能であることに基づき、困難性の結果を導出している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソルの核ノルムの近似は計算的に困難であるか？
• RQ2 ノルムの近似の複雑性とその双対ノルムとの関係は何か？
• RQ3 テンソルのスぺクトルノルム近似のNP困難性を、核ノルムの困難性に拡張できるか？
• RQ4 テンソルの核ノルムと量子状態の分離可能性には関係があるか？
• RQ5 4次テンソルの単位核ノルムは、関連する密度行列の二粒子分離可能性に正確に対応するか？

主な発見

• スぺクトルノルム近似のNP困難性と双対性を用いて、テンソルの核ノルム近似がNP困難であることが確立された。
• 核ノルム球の弱-membership問題がNP困難であることは、その双対ノルムに対しても同様に成り立つ。
• ノルムの近似が多項式時間で解けるのは、その双対ノルムの近似が多項式時間で解けるときのみである。
• 密度行列の二粒子分離可能性は、対応する4次テンソルの核ノルムが1以下であることと同値である。
• この結果により、テンソルノルムの計算複雑性と量子もつれ検出の間の直接的な橋渡しがなされた。
• 双対性フレームワークは、双対ノルム近似問題間でのNP困難性結果の転送に一般に有用なツールを提供する。