[論文レビュー] Computer algebra tools for Feynman integrals and related multi-sums

J. Blümlein, Carsten Schneider|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 46被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、量子場の理論におけるフェニマン積分および関連する多重和を簡略化するための、コンピュータ代数ツールの包括的なスイートを提示する。Mathematicaパッケージ（Sigma、SumProduction、SolveCoupledSystemなど）として実装された本手法は、記号的積分、メリン・バーンズ変換、再帰的解法、記号的和分を統合し、複雑なループ積分および結合された微分方程式系を不定ネスト和および特殊関数の式に還元する。これにより、3ループまで高精度なQCD計算が可能となる。

ABSTRACT

In perturbative calculations, e.g., in the setting of Quantum Chromodynamics (QCD) one aims at the evaluation of Feynman integrals. Here one is often faced with the problem to simplify multiple nested integrals or sums to expressions in terms of indefinite nested integrals or sums. Furthermore, one seeks for solutions of coupled systems of linear differential equations, that can be represented in terms of indefinite nested sums (or integrals). In this article we elaborate the main tools and the corresponding packages, that we have developed and intensively used within the last 10 years in the course of our QCD-calculations.

研究の動機と目的

• 多ループフェニマン積分を、量子場理論の文脈で簡略化するためのコンピュータ代数ツールを開発・体系化すること。
• フェニマン積分の巨大で複雑な表現を、記号計算に適したコンパクトな形に還元する課題に対処すること。
• ネスト和および特殊関数を用いて、多ループ振幅のεに関するローラン級数展開を効率的に計算可能にする仕組みを提供すること。
• 積分による部分積分還元から生じる線形微分方程式の結合系を、記号的和分および再帰的解法により処理すること。
• 大モーメント法と再帰的解法器を用いて、QCDにおける高多重度および高モーメント計算を支援すること。

提案手法

• 記号的積分とメリン・バーンズ分解を適用して、フェニマンパラメータ積分を多重ネスト和に変換する。
• 再帰的解法技術を用いて、超幾何多重和を不定ネスト和の式に簡略化する。
• SumProductionパッケージを活用して、散在する多数の和を統合・簡略化し、記号的和分に適したコンパクトな形にまとめる。
• SolveCoupledSystemパッケージを用いて、積分による部分積分還元から生じる線形微分方程式の結合系を解く。
• 大モーメント法を実装し、線形時間の再帰評価を用いて、物理的振幅の最大8000モーメントを効率的に計算する。
• 漸近的展開および極限アルゴリズムを統合し、ネスト和式の大きなnにおける振る舞いを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QCDにおける多ループフェニマン積分を、不定ネスト和および特殊関数の式に体系的に還元する方法は何か？
• RQ2 積分による部分積分恒等式から導かれる線形微分方程式系の結合系を簡略化するための記号計算戦略は何か？
• RQ3 散在する多数の多重和を、記号的和分に適した形に統合・簡略化する方法は何か？
• RQ4 QCD振幅における高多重度モーメントを効率的に評価するための計算技術は何か？
• RQ5 結合された微分方程式を満たすマスターフェルミオン積分のε展開を、信頼性高く計算する方法は何か？

主な発見

• 本手法により、記号的和分および再帰的解法を用いて、QCDにおける3ループ分割関数の初の再計算が成功裏に達成された。
• 大モーメント法により、線形時間の再帰評価を用いて、物理的振幅の最大8000モーメントを効率的に計算可能となった。
• SumProductionとSigmaの統合により、組み合わせ的爆発によって通常は取り扱いが困難な複雑な多重和式が簡略化可能となった。
• 積分による部分積分恒等式を用いて、数千もの個別のフェニマン積分が最小限のマスターフェルミオン積分に還元された。
• 記号的和分ツールにより、個々の和は簡約できないが組み合わせとしては簡約可能な超幾何多重和の信頼性の高い簡略化が達成された。
• フレームワークにより、3ループ振幅のεに関するローラン級数展開をr = 2の次数まで計算可能となり、係数は特殊関数および定数の形で表現された。