[論文レビュー] Computing the monodromy and pole order filtration on Milnor fiber cohomology of plane curves

Alexandru Dimca, Gabriel Sticlaru|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特異点が重複しない射影平面曲線のミルナー層コホモロジーにおけるモノドロミー作用と極位数フィルトレーションを計算するアルゴリズムを提示する。この手法は、コーサン複体からのスペクトル系列と斎藤の退化結果を活用し、特徴的固有値とコホモロジーの順次部分空間を効率的に特定する。ボルティン＝サト polynomial の根やアレクサンダー多項式への応用が可能であり、特にすべてのテスト例で検証された予想に依拠している。

ABSTRACT

We describe an algorithm computing the monodromy and the pole order filtration on the Milnor fiber cohomology of any reduced projective plane curve $C$. The relation to the zero set of Bernstein-Sato polynomial of the defining homogeneous polynomial for $C$ is also discussed. When $C$ has some non weighted homogeneous singularities, then we have to assume that a conjecture holds in order to get some of our results. In all the examples computed so far this conjecture holds.

研究の動機と目的

• 任意の重複しない平面曲線のミルナー層コホモロジーにおけるモノドロミーと極位数フィルトレーションを計算する一般化されたアルゴリズムの開発。
• 従来の方法（自由またはほぼ自由な曲線に限られていた）を、任意の重複しない平面曲線の一般ケースに拡張すること。
• スペクトル系列の計算を通じて、極位数フィルトレーションとボルティン＝サト多項式の根との関係を明確にすること。
• Singularを用いた計算フレームワークを提供し、コードを公開することで、コホモロジーの順次部分空間とスペクトル系列の項を特定すること。

提案手法

• 定義多項式 $f$ の偏導関数に関連するコーサン複体 $K^*_f$ を用い、そのコホモロジーを計算することで、スペクトル系列の $E_1$-頁を構築する。
• ガウス＝ミン・複体から構成されるスペクトル系列 $E_*(f)$ は、極位数フィルトレーション $P$ に関するミルナー層コホモロジーの順次部分空間に収束する。
• アルゴリズムは、このスペクトル系列の $E_2$ および $E_3$ 項を計算し、モノドロミー固有値とフィルトレーション情報が符号化された内容を抽出する。
• 重み付き同次特異点のみを有する曲線の場合、斎藤の定理により $E_2$ で退化が保証され、計算が簡略化される。
• 一般の曲線の場合、$E_3 = E_\infty$ であると主張するため、Conjecture 2.6 に依拠しており、これにより完全な $P$-フィルトレーション情報が得られる。
• 計算はコンピュータ代数システム Singular で実装されており、コードは公開済みである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重複しない平面曲線のミルナー層コホモロジーにおけるモノドロミー作用を、自由またはほぼ自由な曲線に限らず、一般の場合にどのように計算できるか。
• RQ2 任意の重複しない平面曲線に対して、$H^1(F,\mathbb{C})$ および $H^2(F,\mathbb{C})$ における極位数フィルトレーション $P$ の正確な構造は何か。
• RQ3 極位数フィルトレーションは、ボルティン＝サト多項式 $b_f(s)$ の根とどのように関係しているか。
• RQ4 スペクトル系列 $E_*(f)$ がいつ早期に退化するのか。また、$E_3$ が $E_\infty$ を回復できる条件は何か。
• RQ5 アルゴリズムは、トポロジカルには同値だが代数的には異なる曲線の間で、$R_f$（$b_f(-s)$ の根の集合）の差を信頼性を持って検出できるか。特に、スペクトル $Sp^p(f)$ を正しく計算できるか。

主な発見

• アルゴリズムは、$m=1,2$ およびすべての単位根 $\lambda$ に対して、固有空間 $H^m(F,\mathbb{C})_\lambda$ の次元を計算し、モノドロミー作用を完全に特定する。
• $H^1(F,\mathbb{C})$ に対しては、極位数フィルトレーション $P$ はホッジフィルトレーション $F$ と一致し、$\dim Gr^p_P H^1(F,\mathbb{C})_\lambda$ を計算する。
• $H^2(F,\mathbb{C})$ に対しては、Conjecture 2.6 の仮定のもとで、非重み付き同次特異点を含む一般の曲線に対しても、すべての $p$ と $\lambda$ に対して $\dim Gr^p_P H^2(F,\mathbb{C})_\lambda$ を計算する。
• すべてのテスト例で Conjecture 2.6 が成り立ち、アルゴリズムはスペクトル $Sp^p(f)$ を正しく計算しており、$d=10$、$d=6$、$d=12$ の例で $Sp^0(f)$ および $Sp^1(f)$ が明示的に得られている。
• ミルナー数が同一だがボルティン＝サト多項式の根が異なる曲線（例：$f_1$ と $f_2$ で $\frac{8}{5} \in R_{f_2} \setminus R_{f_1}$）を明確に区別でき、理論的予測を裏付けた。
• 自由またはほぼ自由な曲線に対して、$P^1 H^2(F,\mathbb{C}) = H^2(F,\mathbb{C})$ が成り立つことを確認し、$\mu(C) \neq \tau(C)$ の例（$d=12$ かつ $q_0(f)=26$ の曲線）でも同様に検証された。