[論文レビュー] Concentrating standing waves for the fractional nonlinear Schrödinger equation

Juan Dávila, Manuel del Pino+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、潜在的関数 $ V(x) $ を持つ分数非線形シュレーディンガー方程式に対して、$ \varepsilon \to 0 $ の際に解が $ V $ の臨界点に集中する多スパイク定常波解の存在を、リャプノフ＝シュミット還元を用いて確立している。主な結果として、$ 0 < s < 1 $ の分数的ケースに、古典的なFloer-WeinsteinおよびOhの結果を拡張し、$ V $ の非退化臨界点の周囲に $ k $ ピーク解が存在することを示している。

ABSTRACT

We consider the semilinear equation $$ ε^{2s} (-Δ)^s u + V(x)u - u^p = 0, \quad u&gt;0, \quad u\in H^{2s}(\R^N) $$ where $0 0$, and $ε&gt;0$ is a small number. Letting $w_λ$ be the radial ground state of $(-Δ)^s w_λ+ λw_λ- w_λ^p=0$ in $H^{2s}(\R^N)$, we build solutions of the form $$ u_ε(x) \sim \sum_{i=1}^k w_{λ_i} ((x-ξ_i^ε)/ε),$$ where $λ_i = V(ξ_i^ε)$ and the $ξ_i^ε$ approach suitable critical points of $V$. Via a Lyapunov Schmidt variational reduction, we recover various existence results already known for the case $s=1$. In particular such a solution exists around $k$ nondegenerate critical points of $V$. For $s=1$ this corresponds to the classical results by Floer-Weinstein and Oh.

研究の動機と目的

• 非線形シュレーディンガー方程式の集中定常波に関する古典的結果を、分数ラプラシアンケース（$ 0 < s < 1 $）に拡張すること。
• 滑らかな潜在的関数 $ V(x) $ の臨界点に集中する多ピーク解の存在を確立すること。
• 変分還元を用いて、$ s = 1 $ のFloer-WeinsteinおよびOhの結果を非局所的分数的設定に一般化すること。
• $ H^{2s}(\mathbb{R}^N) $ における解の漸近的挙動を分析し、その集中プロファイルを特徴付けること。
• $ k $ スパイク解が $ V $ の $ k $ 個の非退化臨界点の周囲に存在することを証明し、スパイクの位置および減衰の正確な制御を行うこと。

提案手法

• スケーリングされた径数的基底状態 $ w_{\lambda}(x) = \lambda^{1/(p-1)} w(\lambda^{1/(2s)} x) $（$ \lambda = V(\xi) $）の重ね合わせとして、近似解を構築し、点 $ \xi_i^\varepsilon $ の周囲に集中させる。
• 無限次元問題をパrameter $ \xi_i^\varepsilon $ の有限次元問題に還元するため、リャプノフ＝シュミット変分還元法を適用する。
• 各スパイク周囲の線形化作用素の核を制御するために、径数的基底状態 $ w $ の非退化性を用いる。
• エネルギー汎関数 $ J_\varepsilon $ の漸近展開と重み付きノルムにおける誤差項の推定を用いて、スパイク間の相互作用を制御する。
• 発散を防ぎ、相互作用項の減衰を保証するために、$ |\xi_i^\varepsilon - \xi_j^\varepsilon| > \varepsilon^{1 - s/4} $ を満たす配置空間 $ \Lambda $ を導入する。
• 位相的次数理論と連続性の議論に依拠して、還元された汎関数の臨界点の存在を示し、それが真の解に対応することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数非線形シュレーディンガー方程式（$ 0 < s < 1 $）に対して、多スパイク解が存在するか？
• RQ2 $ \varepsilon \to 0 $ の際に、これらの解は潜在的関数 $ V(x) $ の臨界点に集中するか？
• RQ3 $ s = 1 $ の古典的結果が、どの程度分数的ケースに拡張可能か？
• RQ4 スパイク間の相互作用および非局所効果は、多ピーク解の存在および位置にどのように影響するか？
• RQ5 $ V(x) $、$ p $、$ s $ にどのような条件を課すと、分数的設定における $ k $ ピーク解が存在するか？

主な発見

• 任意の $ k \geq 1 $ に対して、$ V \in C^{1,\alpha} \cap L^\infty $ かつ $ \inf V > 0 $ であるとき、$ \Lambda_i \subset \mathbb{R}^N $ が互いに素な有界な開集合で $ \deg(\nabla V, \Lambda_i, 0) \neq 0 $ を満たすならば、十分に小さい $ \varepsilon $ に対して $ k $ スパイク解が存在する。
• $ V \in C^2 $ かつ $ k $ 個の非退化臨界点 $ \xi_i^0 $ を持つならば、$ \xi_i^\varepsilon \to \xi_i^0 $（$ \varepsilon \to 0 $）を満たす $ k $ スパイク解 $ u_\varepsilon $ が存在する。
• 近似 $ u_\varepsilon \sim \sum_{i=1}^k w_{V(\xi_i^\varepsilon)}((x - \xi_i^\varepsilon)/\varepsilon) $ の誤差は、$ \varepsilon \to 0 $ の際に $ H^{2s}(\mathbb{R}^N) $ でゼロに収束する。
• スパイク間の相互作用エネルギーは $ O(\varepsilon^{2s}) $ で減衰し、主要なエネルギー項は潜在的関数値 $ V(\xi_i^\varepsilon) $ に支配される。
• スパイクの位置を制御する還元汎関数 $ I(q) $ は、十分に小さい $ \varepsilon $ に対して $ \nabla I(q^\varepsilon) = 0 $ を満たし、位相的次数理論により解の存在が保証される。
• 本手法は潜在的関数の $ C^1 $-摂動に対して安定であり、臨界点およびしたがって解の存在を保つ。