[論文レビュー] Concentration of $1$-Lipschitz functions on manifolds with boundary with Dirichlet boundary condition

Yohei Sakurai|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 35被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、境界をもつリーマン多様体において、下からのリッチ曲率と平均曲率の下界のもとで、観測可能な内接半径に関する比較定理を確立し、ディリクレ境界条件を満たす1リプシッツ関数の境界への集中を定量化するための新しい不変量を導入する。スペクトルギャップまたは曲率条件の下で、このような多様体の系列は境界への集中を示すことが証明され、グロモフ＝ミルマンおよびフナノ＝シオヤの定理が閉じた多様体に一般化される。

ABSTRACT

In this paper, we consider a concentration of measure problem on Riemannian manifolds with boundary. We study concentration phenomena of non-negative $1$-Lipschitz functions with Dirichlet boundary condition around zero, which is called boundary concentration phenomena. We first examine relation between boundary concentration phenomena and large spectral gap phenomena of Dirichlet eigenvalues of Laplacian. We will obtain analogue of the Gromov-V. D. Milman theorem and the Funano-Shioya theorem for closed manifolds. Furthermore, to capture boundary concentration phenomena, we introduce a new invariant called the observable inscribed radius. We will formulate comparison theorems for such invariant under a lower Ricci curvature bound, and a lower mean curvature bound for the boundary. Based on such comparison theorems, we investigate various boundary concentration phenomena of sequences of manifolds with boundary.

研究の動機と目的

• 境界をもつリーマン多様体上でのディリクレ境界条件を満たす1リプシッツ関数の境界への集中現象を形式化し、分析すること。
• 非負の1リプシッツ関数が境界で0に集中する度合いを測る新しい不変量として、観測可能な内接半径を導入すること。
• 境界のリッチ曲率および平均曲率の下界のもとで、観測可能な内接半径に関する比較定理を確立すること。
• 古典的な測度集中に関する結果（例えば、グロモフ＝ミルマン、フナノ＝シオヤ）を境界をもつ多様体へ一般化すること。
• スペクトルギャップおよび曲率条件を用いて、境界への集中を示す多様体の系列を特徴づけること。

提案手法

• 境界への距離関数 ρ∂X(x) = dX(x, ∂X) を定義し、これを使って部分集合 Ω ⊂ X に対する内接半径 InRadΩ を定義する。
• ξ-部分内接半径 PartInRad(X;ξ) を、Borel集合 Ω で μX(Ω) ≥ ξ を満たすものについての InRadΩ の下界として定義する。
• η-観測可能な内接半径 ObsInRad(X;−η) を、すべての1リプシッツ関数 φ: X → [0,∞) で φ|∂X = 0 を満たすものについて、PartInRad(Iφ;1−η) の上界として定義する。
• 関数 φ による測度の押し出し φ#μX を用いて、φ-スクリーン (I, dI, mI,φ) を定義し、キーファン距離を用いた集中の研究を可能にする。
• リッチ曲率（Ric¹f,∂M⊥ ≥ (n−1)κe−4f/(n−1)）および平均曲率（Hf,∂M ≥ (n−1)λe−2f/(n−1)）の下界のもとで、観測可能な内接半径に関する比較定理を確立する。
• これらの定理を応用して、境界への集中を示す十分条件を導出する。これにはスペクトルギャップおよび曲率の減衰条件が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような幾何的条件下で、境界をもつ多様体上でのディリクレ境界条件を満たす1リプシッツ関数が境界付近で0に集中するか？
• RQ2 観測可能な内接半径は境界への集中をどのように定量化するか？また、ディリクレラプラシアンのスペクトルギャップとはどのように関係するか？
• RQ3 リッチ曲率および平均曲率の下界のもとで、観測可能な内接半径に関する比較定理をどのように確立できるか？
• RQ4 測度集中に関するグロモフ＝ミルマンおよびフナノ＝シオヤの定理を境界をもつ多様体へ拡張できるか？
• RQ5 どのような曲率およびスペクトル的条件が、境界をもつ多様体の系列が境界集中族であることを示すか？

主な発見

• 観測可能な内接半径 ObsInRad(X;−η) は η に関して単調非増大であり、η ≥ 1 では0に等しい。
• 系列 {Xn} が境界集中族であるための必要十分条件は、すべての η > 0 に対して ObsInRad(Xn;−η) → 0 (n → ∞) となることである。
• Ric¹f,∂M⊥ ≥ 0 かつ Hf,∂M ≥ (n−1)λne−2δn で nλne−2δn → ∞ ならば、{(Mn,fn)} は境界集中族である。
• Ric¹f,∂M⊥ ≥ (n−1)κne−4fn/(n−1) かつ Hf,∂M ≥ (n−1)λne−2fn/(n−1) で fn ≤ (n−1)δn かつ nλne−2δn → ∞ ならば、{(Mn,fn)} は境界集中族である。
• 定数 κ < 0 かつ λ = √|κ| であるか、または凸ボール条件を満たす場合、fn ≤ (n−1)δ (δ ∈ ℝ) ならば、同じ結論が成り立つ。
• 具体的な例として、M̃n = [0,∞) × S^{n−1}_{κn,λn,δn} に特定のワーパード計量および重み関数 f̃n を導入したものが構成され、nλne−2δn → ∞ ならば、{(M̃n, f̃n)} は境界集中族である。