[論文レビュー] Conformal invariance and the Lundgren-Monin-Novikov equations for vorticity fields in 2D turbulence: Refuting a recent claim

Michael Frewer, George Khujadze|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Grebenevら（2017年）がLie群の対称性解析を用いて、非粘性2次元Lundgren-Monin-Novikov（LMN）方程式が局所的コンフォーマル不変性を示すという最近の主張を反証する。著者らは、LMN系における重要な制約の変換が誤って行われており、その修正により局所的コンフォーマル不変性が破れ、対称性が唯一のグローバルスケーリングにまで低下することを示している。これにより、元の結論は無効となる。

ABSTRACT

The recent claim by Grebenev et al. [J. Phys. A: Math. Theor. 50, 435502 (2017)] that the inviscid 2D Lundgren-Monin-Novikov (LMN) equations on a zero vorticity characteristic naturally would reveal local conformal invariance when only analyzing these by means of a classical Lie-group symmetry approach, is invalid and will be refuted in the present comment. To note is that within this comment the (possible) existence of conformal invariance in 2D turbulence is not questioned, only the conclusion as is given in Grebenev et al. (2017) and their approach how this invariance was derived is what is being criticized and refuted herein. In fact, the algebraic derivation for conformal invariance of the 2D LMN vorticity equations in Grebenev et al. (2017) is flawed. A key constraint of the LMN equations has been wrongly transformed. Providing the correct transformation instead will lead to a breaking of the proclaimed conformal group. The corrected version of Grebenev et al. (2017) just leads to a globally constant scaling in the fields and not to a local one as claimed. In consequence, since in Grebenev et al. (2017) only the first equation within the infinite and unclosed LMN chain is considered, also different Lie-group infinitesimals for the one- and two-point probability density functions (PDFs) will result from this correction, replacing thus the misleading ones proposed.

研究の動機と目的

• Grebenevら（2017年）が非粘性2次元LMN方程式が古典的Lie群の対称性解析において局所的コンフォーマル不変性を有すると主張する主張に反論すること。
• その誤ったコンフォーマル不変性の結論を導いた、LMN系内での重要な制約の変換における代数的誤りを特定し、修正すること。
• 修正された制約を用いて再評価することで、2次元LMN方程式の真の対称性構造を明確にすること。
• 修正された系が局所的コンフォーマル不変性ではなく、唯一グローバルスケーリング不変性を有することを示し、元の結論を無効にすること。

提案手法

• 非閉じた2次元LMN渦度方程式鎖の第一方程式に適用されたLie群の対称性アプローチを詳細に再分析する。
• Grebenev ら（2017年）が誤って保存されたコンフォーマル不変性を保持するように行った、正規化制約の変換の誤りを特定する。
• 制約に正しい変換を適用し、局所的コンフォーマル不変性が破れ、対称性群が縮小されることを示す。
• 修正された制約を用いて無限小Lie対称性を再導出し、これ以上局所的コンフォーマル変換を含まない対称性代数が得られることを示す。
• 修正された系が、局所的コンフォーマル不変性ではなく、唯一のグローバルスケーリング不変性を有することを示す。
• 修正された1点および2点確率密度関数（PDF）の無限小量をGrebenev ら（2017年）が提案したものと比較し、元の導出における不整合を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非粘性2次元Lundgren-Monin-Novikov方程式系は、Grebenev ら（2017年）が主張するように、古典的Lie群の対称性解析において局所的コンフォーマル不変性を示すか？
• RQ2 LMN系における正規化制約の正しい変換は何か？ そして、その変換は得られる対称性代数にどのように影響するか？
• RQ3 Grebenev ら（2017年）の元の導出がなぜ、LMN方程式において誤って局所的コンフォーマル不変性を同定したのか？
• RQ4 誤った変換を修正した後、2次元LMN方程式の真の対称性構造は何か？
• RQ5 修正された1点および2点PDFの無限小対称性は、Grebenev ら（2017年）が主張したものと異なるか？ その差異は何か？

主な発見

• Grebenev ら（2017年）が導出した2次元LMN方程式における局所的コンフォーマル不変性の主張は、重要な正規化制約の誤った変換に起因し、無効である。
• 制約の変換を修正することで、局所的コンフォーマル対称性が破れ、対称性群は唯一のグローバルスケーリングにまで低下する。
• 修正された系はもはや完全なコンフォーマル代数を含まず、代わりに唯一グローバルスケール不変性を支持する。
• 修正された制約のもとで、1点および2点確率密度関数（PDF）の無限小Lie対称性は、元の導出とは異なるため、元の対称性の仮定は無効である。
• 元の導出が誤った変換に依存しているため、2次元乱流におけるコンフォーマル不変性に関する誤った結論が導かれた。