[論文レビュー] Conformal Invariance in Inverse Turbulent Cascades

Gregory Falkovich, S. Musacchio|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2010

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2次元非線形モデルのクラスにおける逆渦撹乱のスカラー場のゼロ等高線が、統計的性質がシュラム＝ロエーナー過程（SLE）に一致する、等角不変性を示すことを示している。$0 < m < 1$ に対して普遍性クラス $\kappa=4$ が得られ、等角不変性はスカラー場の性質ではなく、速度場のダイナミクスに依存することが示唆され、$m=1$ で相転移が発生する。

ABSTRACT

We study statistical properties of turbulent inverse cascades in a class of nonlinear models describing a scalar field transported by a two-dimensional incompressible flow. The class is characterized by a linear relation between the transported field and the velocity, and include several cases of physical interest, such as Navier-Stokes, surface quasi-geostrophic and Charney-Hasegawa-Mima equations. We find that some statistical properties of the inverse turbulent cascades in such systems are conformal invariant. In particular, the zero-isolines of the scalar field are statistically equivalent to conformal invariant curves within the resolution of our numerics. We show that the choice of the conformal class is determined by the properties of a transporting velocity rather than those of a transported field and discover a phase transition when the velocity turns from a large-scale field to a small-scale one.

研究の動機と目的

• ナビエ＝ストークス方程式およびSQG乱流で観測された等角不変性が、より広い2次元乱流モデルのクラスに拡張されるかを調査すること。
• 等高線の等角不変性がスカラー場の性質に由来するものか、速度場のダイナミクスに由来するものかを特定すること。
• 等高線の普遍性クラス $\kappa$ を特定し、スカラー場と速度場の関係を規定するモデルパラメータ $m$ と関連付けること。
• 等高線のフラクタル次元およびねじれ統計が、SLE理論の予測と一致するかを検証すること。

提案手法

• スカラー場 $\theta$ がストリーム関数 $\psi$ と $\theta(\mathbf{k}) = |\mathbf{k}|^m \psi(\mathbf{k})$ の関係で結ばれる2次元非圧縮性流れモデルの族に対する数値シミュレーション。
• 力および散逸を有限スケール $\ell_f$ に印加することで、$m > 0$ の場合に逆カスケードを研究可能にする。
• ゼロ等高線の統計的分析には、フラクタル次元、ねじれ角の分散、SLE予測との比較が含まれる。
• 等高線を上半平面にマップした上で、ロエーナー駆動関数 $\xi(t)$ を抽出し、$\langle \xi^2(t) \rangle \sim \kappa t$ を満たすガウス統計の有無を検証する。
• フーリエ空間におけるランダム位相の再配置を用いて、ダイナミクス的相関を破壊しつつスケーリングを維持し、等角不変性に必要な要因が乱流のダイナミクスであるかをテストする。
• スカラー場 $\theta$ と速度場 $\psi$ のスケーリング指数 $h$ の比較が、理論的予測と一致することにより、モデルが乱流カスケード理論と整合していることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆渦撹乱におけるスカラー場の等高線は、$m$ の値にかかわらず等角不変性を示すか？
• RQ2 等高線の普遍性クラス $\kappa$ はスカラー場の性質に依存するのか、それとも速度場のダイナミクスに依存するのか？
• RQ3 等高線のフラクタル次元はSLEの予測と整合的であり、$0 < m < 1$ の範囲で一定のままであるか？
• RQ4 スカラー場のスケーリング指数 $h$ とその等高線のフラクタル次元との関係は何か？
• RQ5 フーリエ位相をランダム化することでダイナミクス的相関を破壊した場合、等角不変性は維持されるか？

主な発見

• $0 < m < 1$ の範囲で、ロエーナー駆動関数のガウス統計およびねじれ角分散の $\frac{2}{3}\log \ell$ スケーリングにより、スカラー場のゼロ等高線が $\kappa = 4$ の等角不変性を示すことが確認された。
• $0 < m < 1$ の範囲で、等高線のフラクタル次元は $D = \frac{3}{2}$ であり、$D = 1 + \frac{2}{\kappa}$ を用いて $\kappa = 4$ と整合的であり、この範囲では $m$ とは無関係に一定である。
• $m > 1$ の場合、普遍性クラスは $\kappa = \frac{12}{4 - m}$ となり、フラクタル次元から予測される $\kappa$ と一致し、数値結果とも整合的である。
• $m = 1$ で相転移が発生し、速度場が大規模（$m > 1$）か小規模（$m < 1$）かに分かれる領域に分かれ、それぞれ異なる等角的挙動を示す。
• $\theta$ のフーリエ位相をランダム化することで等角不変性が消失し、対称性が乱流のダイナミクスに起因することを確認した。
• スカラー場 $\theta$ のスケーリング指数 $h = \frac{2 - 2m}{3}$ および速度場 $\psi$ の $h = \frac{2 + m}{3}$ が数値的に確認され、理論的カスケードモデルの妥当性が裏付けられた。