[論文レビュー] Scale invariance vs conformal invariance

Yu Nakayama|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 127被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、相対論的量子場理論におけるスケール不変性と共形不変性の関係を調査し、ユニタリティ、因果性、その他の技術的条件のもとで、4次元においてスケール不変性が共形不変性を意味することを示している。著者らは、高次元版のc-定理を用いた摂動的証明を提示し、エネルギー条件と微分同相変換不変性に基づくホログラフィックな議論によってそれを裏付け、ランゲルマン群と時空構造の間に深い関係があることを示唆している。

ABSTRACT

In this review article, we discuss the distinction and possible equivalence between scale invariance and conformal invariance in relativistic quantum field theories. Under some technical assumptions, we can prove that scale invariant quantum field theories in $d=2$ dimension necessarily possess the enhanced conformal symmetry. The use of the conformal symmetry is well appreciated in the literature, but the fact that all the scale invariant phenomena in $d=2$ dimension enjoy the conformal property relies on the deep structure of the renormalization group. The outstanding question is whether this feature is specific to $d=2$ dimension or it holds in higher dimensions, too. As of January 2014, our consensus is that there is no known example of scale invariant but non-conformal field theories in $d=4$ dimension under the assumptions of (1) unitarity, (2) Poincaré invariance (causality), (3) discrete spectrum in scaling dimension, (4) existence of scale current and (5) unbroken scale invariance in the vacuum. We have a perturbative proof of the enhancement of conformal invariance from scale invariance based on the higher dimensional analogue of Zamolodchikov's $c$-theorem, but the non-perturbative proof is yet to come. As a reference we have tried to collect as many interesting examples of scale invariance in relativistic quantum field theories as possible in this article. We give a complementary holographic argument based on the energy-condition of the gravitational system and the space-time diffeomorphism in order to support the claim of the symmetry enhancement. We believe that the possible enhancement of conformal invariance from scale invariance reveals the sublime nature of the renormalization group and space-time with holography.

研究の動機と目的

• 量子場理論におけるスケール不変性と共形不変性の数学的・物理的違いを明確にすること。
• 標準的な物理的仮定のもとで、4次元量子場理論におけるスケール不変性が必然的に共形不変性を意味するかどうかを調査すること。
• 高次元版のc-定理を用いた摂動的証明により、共形対称性の強化を示すこと。
• ホログラフィーとエネルギー条件が、対称性強化の予想を支持する役割を果たすかを検討すること。
• 特に高次元において、スケール不変だが共形でない場の理論の既知の例を収集・分析すること。

提案手法

• 局所的ランゲルマン群フレームワークを用いて、エネルギー運動量テンソルのトレースとその異常次元を分析する。
• Weyl異常と共形摂動論を適用し、スケール変換下での結合定数の振る舞いを研究する。
• a-定理（a-最大化とダイルトン散乱振幅を介して）を用いて、d=4におけるランゲルマン群の流れを制約する。
• ホログラフィック双対性を用いて、対称性強化を重力理論における零エネルギー条件に関連付ける。
• 交叉対称性、ユニタリティ、S行列の解析性を用いて散乱振幅に制約を課す。
• 有効作用の補正項を分析し、スケール不変性が共形不変性を伴わない場合の整合性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Poincaré不変性と離散スペクトルを持つ4次元ユニタリ量子場理論において、スケール不変性が必然的に共形不変性を意味するか？
• RQ2 d=4におけるスケール対称性からの共形対称性の摂動的強化を、非摂動的証明に拡張できるか？
• RQ3 エネルギー運動量テンソルのトレースとその異常次元は、スケール不変性と共形不変性の区別にどのような役割を果たすか？
• RQ4 重力理論におけるエネルギー条件に基づくホログラフィックな議論は、対称性強化の予想を支持するか、あるいは反証するか？
• RQ5 ダイルトン散乱振幅は、スケール不変固定点における共形対称性の存在を物理的観測可能な指標として提供できるか？

主な発見

• d=2では、Zamolodchikov-Polchinskiの定理とc-定理の存在により、スケール不変性が共形不変性を意味する。
• d=4では、ユニタリティ、因果性、離散スペクトルの仮定のもとで、スケール不変だが共形でない量子場理論の既知の例は存在しない。
• 高次元版のc-定理を用いた摂動的証明により、共形対称性の強化が確立された。
• ホログラフィックな議論は、重力理論における零エネルギー条件の破れが、スケール不変だが共形でない場の理論をもたらす可能性があるが、標準的なエネルギー条件の下ではそのようなモデルは除外される。
• ダイルトン散乱振幅は、交叉対称性とユニタリティの制約を満たしており、スケール不変固定点における共形不変性の整合性を支持する。
• a-定理は、ランゲルマン群の流れに沿った中心電荷の単調減少を理解する非摂動的枠組みを提供し、対称性強化の予想を強化する。