[論文レビュー] Congruences involving alternating multiple harmonic sum

Roberto Tauraso|ArXiv.org|May 20, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、二項係数 $\binom{-1/2}{k}$ を含む交代多重調和和について、$p > 3$ なる素数 $p$ に対して、$p^3$ を法として $-\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{1}{k}$ に合同であることを確立する $p$-進合同式を提示する。この結果は、フェルマー商およびベルヌーイ数を含む既知の $p$-進対数的恒等式を、交代多重調和和および二項係数展開に関する高度な合同式を用いて、より高精度に精緻化するものである。

ABSTRACT

We show that for any prime prime $p ot=2$ $$\sum_{k=1}^{p-1} {(-1)^k\over k}{-{1\over 2} \choose k} \equiv -\sum_{k=1}^{(p-1)/2}{1\over k} \pmod{p^3}$$ by expressing the l.h.s. as a combination of alternating multiple harmonic sums.

研究の動機と目的

• $p$-進解析を用いて、和 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k}$ に対する $p^3$-合同式を確立すること。
• 既知の $p$-進対数的恒等式 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k} \equiv 2q_p(2) \pmod{p}$ を、より高い精度に精緻化すること。
• 深さ2で負のインデックスをもつ交代多重調和和について、$p$ を法として新たな合同式を導出すること。
• フェルマー商 $q_p(2)$ およびベルヌーイ数 $B_{p-3}$ を含む $p^3$-合同式を通じて、和を古典的調和和 $-\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{1}{k}$ と関連付けること。

提案手法

• 生成関数を用いて、和 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k}$ を交代多重調和和の組み合わせとして表現する。
• 交代多重調和和の反転およびシャッフル関係を適用し、深さ2の和を $p$ を法として簡約する。
• ベルヌーイ数およびフェルマー商を含む、非交代調和和に関する既知の $p^2$ および $p^3$-合同式を用いる。
• 特に $\binom{2p}{j} \equiv -2p/j + 4p^2 H(1;j-1)/j \pmod{p^3}$ である $p^3$ を法とする二項係数展開を用いる。
• スケーリング係数の逆数を求めるために、恒等式 $4^{p-1} \equiv 1 - 2q_p(2)p + 3q_p(2)^2p^2 \pmod{p^3}$ を適用する。
• 代数的変形およびモジュラー逆数を用いてすべての項を統合し、最終的な $p^3$-合同式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の $p$-進合同式 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k} \equiv 2q_p(2) \pmod{p}$ の $p^3$-進精緻化は何か？
• RQ2 負のインデックスをもつ交代多重調和和は、$p^3$ を法として古典的調和和およびベルヌーイ数とどのように関連づけられるか？
• RQ3 和 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k}$ は、$-\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{1}{k}$ に対して $p^3$-合同式として表現可能か？
• RQ4 深さ2の和 $H(-1,-2;p-1)$ や $H(-1,-1,1;p-1)$ に対して、$p$ を法として新たに得られる合同式は何か？

主な発見

• 素数 $p > 3$ に対して、和 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k}$ は、$p^3$ を法として $2q_p(2) - p q_p(2)^2 + \frac{2}{3}p^2 q_p(2)^3 + \frac{7}{12}p^2 B_{p-3} \pmod{p^3}$ に合同である。
• この和は、$p^3$ を法として $-\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{1}{k}$ に合同であり、古典的調和和と直接的に関連づけられる。
• 素数 $p \neq 2$ に対して、合同式 $H(-1,-2;p-1) \equiv -\frac{3}{4}B_{p-3} \pmod{p}$ が成り立つ。
• 素数 $p \neq 2$ に対して、合同式 $H(-1,-1,1;p-1) \equiv q_p(2)^3 + \frac{7}{8}B_{p-3} \pmod{p}$ が確立される。
• 二項係数展開を用いて、恒等式 $4^{p-1} \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k} \binom{-1/2}{k} \equiv 2q_p(2) + 3p q_p(2)^2 + \frac{2}{3}p^2 q_p(2)^3 + \frac{7}{12}p^2 B_{p-3} \pmod{p^3}$ が導出される。
• 逆スケーリング $4^{-(p-1)} \equiv 1 - 2q_p(2)p + 3q_p(2)^2p^2 \pmod{p^3}$ が用いられ、$p^3$ を法として元の和が回復される。