[論文レビュー] Congruences involving generalized central trinomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般化された中央三項係数 $ T_n(b,c) $ および一般化されたモーツキン数 $ M_n(b,c) $ を含む新しい合同式を確立し、素数のべき乗における重み付き和がリーマン記号および二次剰余と深く関連する顕著な算術的構造を示している。主な貢献は、$ p $ および $ p^2 $ における正確な合同式のセットであり、中心三項係数およびモーツキン数に関する古典的結果を拡張しており、$ ①{2k \atop k} $、調和数、およびリーマン記号を含む明示的公式が含まれる。

ABSTRACT

For integers $b$ and $c$ the generalized central trinomial coefficient $T_n(b,c)$ denotes the coefficient of $x^n$ in the expansion of $(x^2+bx+c)^n$. Those $T_n=T_n(1,1)\ (n=0,1,2,\ldots)$ are the usual central trinomial coefficients, and $T_n(3,2)$ coincides with the Delannoy number $D_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k$ in combinatorics. We investigate congruences involving generalized central trinomial coefficients systematically. Here are some typical results: For each $n=1,2,3,\ldots$ we have $$\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)T_k(b,c)^2(b^2-4c)^{n-1-k}\equiv0\pmod{n^2}$$ and in particular $n^2\mid\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)D_k^2$; if $p$ is an odd prime then $$\sum_{k=0}^{p-1}T_k^2\equiv\left(\frac{-1}p ight)\ \pmod{p}\ \ \ { m and}\ \ \ \sum_{k=0}^{p-1}D_k^2\equiv\left(\frac 2p ight)\ \pmod{p},$$ where $(-)$ denotes the Legendre symbol. We also raise several conjectures some of which involve parameters in the representations of primes by certain binary quadratic forms.

研究の動機と目的

• 一般化された中央三項係数 $ T_n(b,c) $ および一般化されたモーツキン数 $ M_n(b,c) $ の算術的性質を調査し、古典的な中心三項係数およびモーツキン数を拡張する。
• 重みに $ d = b^2 - 4c $ および $ m $ 乗を含む $ T_n(b,c) $、$ M_n(b,c) $ およびその積を含む和について、$ p $ および $ p^2 $ における新しい合同式を確立する。
• パrameter $ b, c $ を導入することで、中心三項係数およびモーツキン数に関する既知の結果を一般化し、ルジャンドル多項式およびデラノワ数との関係を調査する。
• $ p $-進整数の評価から観察されたパターンに基づき、$ p^3 $、$ p^4 $ および線形重み付き和に関する高次の合同式に関する予想を提示・裏付ける。
• 生成関数および超幾何恒等式を用いたパrameter化されたフレームワークを導入することで、中心三項係数およびモーツキン数の合同式に関する先行研究を統合・拡張する。

提案手法

• 生成関数として、$ T_n(b,c) $ に対して $ \frac{1}{\sqrt{1 - 2bx + dx^2}} $、$ M_n(b,c) $ に対して $ d = b^2 - 4c $ を用いて関連する代数的表現を導出する。
• Zeilbergerのアルゴリズムを用いて $ M_n(b,c) $ の再帰関係を導出し、$ T_n(b,c) $ については既知の再帰関係を用いて $ p $-進性を分析する。
• リーマン記号 $ \big(\frac{a}{p}\big) $ を用いて、特に $ \frac{T_k(b,c)}{m^k} $ および $ \frac{M_k(b,c)}{m^k} $ を含む和における $ p $ における合同式を特徴付ける。
• 恒等式 $ T_n(b,c) = (\text{判別式})^{n/2} P_n(b/\text{判別式}) $ を用いて $ T_n(b,c) $ をルジャンドル多項式 $ P_n(x) $ と関連付け、$ p $ における和の評価を可能にする。
• 超幾何和および $ p $-進解析の理論を用いて、特に $ \frac{T_k^2}{d^k} $、$ \frac{T_k M_k}{d^k} $ および重み付き和における $ p^2 $ における合同式を導出する。
• 数値的パターンおよび既知の恒等式に基づき、$ T_n(b,c)^3 $、$ T_n(b,c)^2 M_n(b,c) $ および線形重み $ (ak+b) $ を含む和について、$ p^2 $、$ p^3 $、$ p^4 $ における予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み $ \frac{1}{m^k} $ を持つ $ T_k(b,c) $ の $ p $ における合同性は何か？また、リーマン記号 $ \big(\frac{(m-b)^2 - 4c}{p}\big) $ にどのように依存するか？
• RQ2 $ \frac{M_k(b,c)}{m^k} $ の和は $ p $ においてどのように振る舞い、判別式 $ (m-b)^2 - 4c $ はその構造にどのような役割を果たすか？
• RQ3 $ \frac{T_k(b,c)^2}{d^k} \bmod p $ の値は何か？また、リーマン記号 $ \big(\frac{cd}{p}\big) $ とどのように関係するか？
• RQ4 $ \frac{T_k(b,c)M_k(b,c)}{d^k} \bmod p $ が特定の $ b, c, d $ の条件下で消えることを示せるか？
• RQ5 $ \frac{T_k(b,c)^3}{(b-2c)^{3k}} \bmod p^2 $ においてどのような高次の合同式が出現するか？また、それらは二次形式における素数の分解にどのように依存するか？

主な発見

• 任意の奇素数 $ p $ に対して、$ \frac{1}{m^k} $-重み付きの $ T_k(b,c) $ の和は $ \textstyle\big(\frac{(m-b)^2 - 4c}{p}\big) $ に従い、二次剰余と関連する。
• $ m^{-k} $-重み付きの $ M_k(b,c) $ の和は、$ p $ において $ (m-b)^2 - ((m-b)^2 - 4c)\big(\frac{(m-b)^2 - 4c}{p}\big) $ に比例し、$ 2c $ でスケーリングされる。
• $ \textstyle\frac{T_k(b,c)^2}{d^k} \bmod p $ は、$ d \not\to 0 \bmod p $ の条件下で $ \big(\frac{cd}{p}\big) $ に合同である。
• $ b \not\to 2c \bmod p $ のとき、$ \textstyle\frac{T_k(b,c^2)^2}{(b-2c)^{2k}} \bmod p $ は $ \big(\frac{-c^2}{p}\big) $ に合同である。
• $ p \nmid c $ かつ $ d \not\to 0 \bmod p $ のとき、$ \textstyle\frac{T_k(b,c)M_k(b,c)}{d^k} \bmod p $ は消える。これは顕著な算術的キャンセルを示している。
• $ D = b^2 - 4c^2 \not\to 0 \bmod p $ のとき、$ \textstyle\frac{T_k(b,c^2)M_k(b,c^2)}{(b-2c)^{2k}} \bmod p $ は $ \frac{4b}{b+2c} \big(\frac{D}{p}\big) $ に合同である。