[論文レビュー] Conic singularities metrics with prescribed Ricci curvature: the case of general cone angles along normal crossing divisors

Henri Guenancia, Mihai Păun|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、正則交差除法に沿った特異点をもつコンpact Kähler多様体上でのMonge-Ampère方程式の解について、錐角の大きさにかかわらず鋭いラプラシアンおよび$`\mathscr{C}^{2,\alpha,\beta}\u0060$推定を確立する。主な貢献は、一般の錐角をもつKähler-Einstein計量の存在および正則性に関する一般定理を確立し、分野における先行研究を完成させることにある。

ABSTRACT

Let $X$ be a non-singular compact Kähler manifold, endowed with an effective divisor $D= \sum (1-β_k) Y_k$ having simple normal crossing support, and satisfying $β_k \in (0,1)$. The natural objects one has to consider in order to explore the differential-geometric properties of the pair $(X, D)$ are the so-called metrics with conic singularities. In this article, we complete our earlier work \cite{CGP} concerning the Monge-Ampère equations on $(X, D)$ by establishing Laplacian and ${\mathscr C}^{2,α, β}$ estimates for the solution of this equations regardless to the size of the coefficients $0

研究の動機と目的

• 正則交差除法に沿った一般の錐角に対する錐特異点をもつKähler-Einstein計量理論を拡張すること。
• 錐角が(0,1)で任意のとき、Monge-Ampère方程式に対する正則性推定が不足している問題を解決すること。
• 先行研究[CGP]を完成させ、解についての完全な$\mathscr{C}^{2,\alpha,\beta}$正則性を確立すること。
• $(X,D)$のペアに対して、$D = \sum(1-\beta_k)Y_k$ および $\beta_k \in (0,1)$ を満たす一般の存在定理を確立すること。

提案手法

• 一般の錐角をもつ錐計量の文脈における重み付きソボレフおよびシュレーディンガー推定の使用。
• コンパクトKähler多様体に正則交差除法をもつMonge-Ampère方程式を解くために連続性法の応用。
• 局所座標およびオーロラフォイド構造を用いた特異部分集合付近でのモデル計量の構成。
• 特異部分集合付近での解の挙動を制御するために、複素ポテンシャル論およびバリア法の適用。
• 錐角$\beta_k \in (0,1)$に依存しない一様ラプラシアン推定の導出。
• 錐計量の構造と楕円的推定を組み合わせることで、$\mathscr{C}^{2,\alpha,\beta}$正則性の確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kähler多様体に錐特異点をもつMonge-Ampère方程式の解について、錐角に依存しない一様ラプラシアン推定を得ることは可能か？
• RQ2 除法が単純正則交差をもつとき、錐Monge-Ampère方程式の解の最適な正則性クラスは何か？
• RQ3 錐角が(0,1)の範囲で任意のとき、正則交差除法に沿った錐特異点をもつKähler-Einstein計量が存在する条件は何か？
• RQ4 解の正則性特性は、除法の幾何構造および錐角の選択にどのように依存するか？
• RQ5 連続性法を用いて、一般の錐角をもつ正則交差除法に沿ったKähler-Einstein計量を効果的に構成することは可能か？

主な発見

• 本論文は、すべての$\beta_k \in (0,1)$に対して、錐Monge-Ampère方程式の解について、錐角の大きさにかかわらず一様ラプラシアン推定を確立する。
• コンパクトKähler多様体に正則交差除法と任意の錐角をもつMonge-Ampère方程式の解について、$\mathscr{C}^{2,\alpha,\beta}$正則性が証明される。
• $(X,D)$のペアに対して、$D = \sum(1-\beta_k)Y_k$ および $\beta_k \in (0,1)$ を満たす、錐特異点をもつKähler-Einstein計量の一般存在定理が確立される。
• 先行研究[CGP]を完成させ、錐角に制限を設けず、重み付き Hölder 空間$\mathscr{C}^{2,\alpha,\beta}$における完全な正則性を提供する。
• この手法により、構成されたKähler-Einstein計量は除法を除いて滑らかであり、$D$の各成分に指定された錐特異点をもつことが保証される。
• 指定されたリッチ曲率条件のもとで、与えられた錐Kähler類内にMonge-Ampère方程式の解が一意に存在することが示される。