[論文レビュー] Kahler-Einstein metrics on Fano manifolds, III: limits as cone angle approaches 2π and completion of the main proof

Xiuxiong Chen, Simon Donaldson+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用数 69

ひとこと要約

この論文は、Fano多様体がKähler-Einstein計量をもつこととK-安定であることの必要十分条件であるという予想の証明を完了した。円錐特異性をもつKähler-Einstein計量の極限を、円錐角が$2\pi$に近づく場合に考察し、$\mathbb{Q}$-Fano多様体上の弱Kähler-Einstein計量への収束を示した。これにより、複素次元$n \geq 2$におけるYau-Tian-Donaldson予想の解析的証明が完全に完成した。この結果は、Fano多様体におけるKähler-Einstein計量の存在に関して、K-安定性が必要十分な代数幾何的条件であることを確認するものである。

ABSTRACT

This is the third and final paper in a series which establish results announced in arXiv:1210.7494. In this paper we consider the Gromov-Hausdorff limits of metrics with cone singularities in the case when the limiting cone angle approaches 2π. We also put all our technical results together to complete the proof of the main theorem that if a K-stable Fano manifold admits a Kahler-Einstein metric.

研究の動機と目的

• Yau-Tian-Donaldson予想の証明を完了し、Fano多様体上にKähler-Einstein計量が存在するための必要十分条件としてK-安定性が成り立つことを確立すること。
• 円錐角が$2\pi$に近づくとき、滑らかな除集合に沿った円錐特異性をもつKähler-Einstein計量の極限を分析すること。
• このような計量の列の極限が、$\mathbb{Q}$-Fano多様体上に弱Kähler-Einstein計量に収束することを示すこと。
• 円錐角が$2\pi$に近づく場合の、円錐特異性をもつ複素Monge-Ampère方程式の正則性理論を、$C^{1,1}$の潜在関数の有界性を保証する形で拡張すること。

提案手法

• 特異な中心ファイバーを制御可能な特異性でもつ等長的テスト配置を用いた、K-安定性の分析のための退化技術の使用。
• 円錐特異性をもつ複素Monge-Ampère方程式を介した、$L^p$推定と潜在関数$u$の$C^{1,1}$有界性の応用。
• 最大原理とハーナック型不等式を用いて、ヘッセ行列と曲率の有界性に基づく、潜在関数の2階微分の振動を制御すること。
• Gilbarg-Trudingerの楕円型正則性理論を、複素かつヘルミート的設定に適応し、計量の逆行列$u^{i\bar{j}}$のランク1射影への行列分解を用いること。
• $\log \det$の凸性を用いて、計量と曲率に基づくヘッセ行列の成長を制御する微分不等式を導出すること。
• 優越収束定理とコンパクトネスの議論を用いて、近似解の潜在関数およびその導関数における$\epsilon \to 0$の極限に移行すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円錐角が$2\pi$に近づくとき、円錐特異性をもつKähler-Einstein計量の極限はどのように振る舞うか？
• RQ2 円錐特異性をもつ複素Monge-Ampère方程式の正則性理論は、円錐角が$2\pi$に近づく場合にまで拡張可能か？
• RQ3 Fano多様体上に円錐特異性をもつKähler-Einstein計量の列の極限は、$\mathbb{Q}$-Fano多様体上に弱Kähler-Einstein計量をもたらすか？
• RQ4 円錐角が$2\pi$に近づく極限において、潜在関数の$C^{1,1}$正則性は保存されるか？
• RQ5 振動推定とハーナック型不等式を用いて、極限における潜在関数の2階微分の$C^\alpha$正則性を確立できるか？

主な発見

• 円錐角$2\pi\beta_i$が$2\pi$に近づくKähler-Einstein計量の列の極限は存在し、$\mathbb{Q}$-Fano多様体$W$上に弱Kähler-Einstein計量$\omega$をもたらす。
• 部分列に置き換えることで、$|-mK_{X_i}|$によって定義される埋め込み$T_i: X_i \to \mathbb{CP}^N$が、$|-mK_W|$によって定義される埋め込み$T_\infty: W \to \mathbb{CP}^N$に収束する。ここで$m$は次元と$\lambda$にのみ依存する。
• 潜在関数$u$の$C^{1,1}$有界性は極限において一様に制御され、$\sup_{B_R} |u_{vv}| \leq C$および$u_{\gamma\bar\gamma} \geq 0$, $\leq C$が単位ベクトル$\{v, Jv\}$および対応する$\gamma$に対して成り立つ。
• 2階微分の振動$\omega(R)$は、$0 < \zeta < 1$に対して$\omega(R) \leq \zeta \omega(3R) + C R + C R^2$を満たし、Gilbarg-Trudingerの補題8.23により$C^\alpha$正則性を示す。
• $M_{3,\gamma} - w_\gamma^\epsilon$の$L^p$推定から、$\left(R^{-n}\int_{B_R} (M_{3,\gamma} - w_\gamma)^p\right)^{1/p} \leq C_2 (M_{3,\gamma} - M_{1,\gamma} + R^2)$が得られ、これは$C^\alpha$推定に不可欠である。
• 最終的な$C^\alpha$推定は、行列分解$u^{i\bar j} = \sum \beta_k \gamma_k \otimes \bar\gamma_k$と微分不等式$\sum \beta_k (w_k(x) - w_k(y)) \geq -C_4 |x-y|$の組み合わせにより、一様なホルダー制御が得られることで確立される。