[論文レビュー] Kahler-Einstein metrics on Fano manifolds, II: limits with cone angle less than 2 π

Xiuxiong Chen, Simon Donaldson+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 40

ひとこと要約

この論文は、特異的Fano多様体上の極限度量への、除法に沿ったコーン特異性をもつケーラー・アインシュタイン度量の列の収束を、コーン角が $2\pi$ より小さい値に近づくときのものとして確立する。重み付きSchauder推定と退化した複素Monge-Ampère方程式を用いて、極限度量がコーン重み付きの Hölder 空間に属することを証明し、特異極限の場合への正則性理論の拡張を実現し、Fano多様体の均一K安定性基準への重要な一歩を提供する。

ABSTRACT

This is the second of a series of three papers which provide proofs of results announced in arXiv:1210.7494. In this paper we consider the Gromov-Hausdorff limits of metrics with cone singularities in the case when the limiting cone angle is less than 2π. We show that these are in a natrual way projective algebraic varieties. In the case when the limiting variety and the limiting divisor are smooth we show that the limiting metric also has standard cone singularities.

研究の動機と目的

• コーン角 $2\pi\beta_i$ が $2\pi\beta_\infty$ に近づくとき、滑らかな除法 $D$ 沿いのコーン特異性をもつケーラー・アインシュタイン度量の列の極限挙動を分析すること。
• コーン角が $2\pi$ より厳密に小さい場合に、特異的Q-Fano多様体上での極限度量の存在と正則性を確立すること。
• コーン特異性をもつケーラー・アインシュタイン度量の正則性理論を極限の場合にまで拡張し、極限度量が重み付きHölder空間 $\mathcal{C}^{2,\alpha,\beta_\infty}$ に属することを証明すること。
• コーン角の収束に伴うケーラー・アインシュタイン度量の退化を分析することで、Yau-Tian-Donaldson予想の証明に向けた基礎的段階を提供すること。

提案手法

• モデル度量 $\omega_{(\beta)}$ を用いて定義されるノルムを通じて、重み付きSchauder推定をコーン設定で用い、度量差のHölder半ノルムを制御する。
• 特異重み $|s|^{2(\beta-1)}$ をもつ複素Monge-Ampère方程式に対する事前推定を適用する。ここで $s$ は $K_X^{-\lambda}$ の切断である。
• 特異集合 $\Delta$ に近い点を中心とするモデル球 $B^{(\beta)}(q,\rho)$ を用いた局所化の議論を採用する。距離 $d_\beta$ はモデル度量によって定義される。
• 摂動法を実装する：$\omega = \omega_{(\beta)} + i\partial\bar\partial\psi$ と書き、方程式 $\det(\omega) = \Omega_h |s|_h^{2(\beta-1)}$ を用いて $[\psi]_\alpha$ および $[i\partial\bar\partial\psi]_\alpha$ の境界を導出する。
• スケーリングと平行移動の議論により、問題を局所的モデルに還元し、定数 $K$ が $\alpha, \beta$, および $\beta_\infty$ のみに依存する一様な定数であるスケーリング推定 (39) を適用する。
• 特異点でない点での正則性を扱うために、Evans-Krylov理論の代わりにCheeger-Colding理論を適用し、Hölderノルムのグローバルな制御を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コーン角 $2\pi\beta_i$ が $2\pi\beta_\infty < 2\pi$ に近づくとき、ケーラー・アインシュタイン度量の列の極限の正則性は何か？
• RQ2 特異的Q-Fano多様体上での極限度量は、$\alpha < \beta_\infty^{-1} - 1$ の場合に重み付きHölder空間 $\mathcal{C}^{2,\alpha,\beta_\infty}$ に属するか？
• RQ3 コーン設定における重み付きSchauder推定を用いて、このような度量の収束を一様に制御できるか？
• RQ4 極限において除法 $\Delta$ の近くで度量の退化はどのように進行するか？また、Monge-Ampère方程式における重み $|s|^{2(\beta-1)}$ の役割は何か？
• RQ5 コーン特異性をもつケーラー・アインシュタイン度量の正則性理論を、$\beta_i \to \beta_\infty < 1$ の極限の場合にまで拡張できるか？

主な発見

• 任意の $\alpha < \beta_\infty^{-1} - 1$ に対して、極限度量は重み付きHölder空間 $\mathcal{C}^{2,\alpha,\beta_\infty}$ に属する。これにより、コーン設定におけるより高い正則性が保証される。
• 一様なSchauder推定 (39) が、$K = K(\alpha, \beta)$ として成り立ち、$\alpha', \beta'$ が $\alpha, \beta$ に近い場合に一様に成り立つ。これにより、収束に伴う推定の安定性が保証される。
• Hölder半ノルムの度量差は、$[\det - \Delta\psi]_\alpha$ および $[\psi]_\alpha$ を含む事前推定によって有界に抑えられ、$M = \sup Q(x,y)$ に対する一様な境界が得られる。
• Schauder推定と $\rho^\alpha$ 項の減衰を組み合わせることで、$R^{-\alpha}M/4 \leq K\rho^\alpha[\det]_\alpha + CK$ が得られ、これは $i$ に依存しない。
• 極限度量は、極限多様体の滑らか部分上で弱いコーン特異性をもつケーラー・アインシュタイン方程式 $\omega_h^n = \Omega_h |s|_h^{2(\beta_\infty - 1)}$ を満たす。
• 元の多様体と除法が固定されている場合でも結果が成り立つため、収束は複素構造の退化ではなく、コーン角の退化にのみ依存することが示された。