[論文レビュー] Conjugacy classes of involutions and Kazhdan-Lusztig cells

Cédric Bonnafé, Meinolf Geck|arXiv (Cornell University)|May 18, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限コクセター群における対合の共軛類とカジマラ・ルシュティグ細分の関係を調査し、滑らかな二面細分、または古典的タイプ（Bn, Dn）における定数重み関数の下で、与えられた二面細分に属するすべての対合が共軛であることを証明する。これは古典的タイプにおけるコットヴィッツの予想を確認し、対合の共軛類と左細分の交わりが特性の内積によって支配されることを示し、E8を除いてすべてのケースが解決された。

ABSTRACT

According to an old result of Sch\"utzenberger, the involutions in a given two-sided cell of the symmetric group $\SG_n$ are all conjugate. In this paper, we study possible generalisations of this property to other types of Coxeter groups. We show that Sch\"utzenberger's result is a special case of a general result on "smooth" two-sided cells. Furthermore, we consider Kottwitz' conjecture concerning the intersections of conjugacy classes of involutions with the left cells in a finite Coxeter group. Our methods lead to a proof of this conjecture for classical types; combined with previous work, this leaves type $E_8$ as the only remaining open case.

研究の動機と目的

• 対称群における対合の共軛性に関するシュッツェンベルガーの結果を、他のコクセター群へ一般化すること。
• 有限コクセター群における対合の共軛類と左細分の交わりに関するコットヴィッツの予想を調査すること。
• 二面細分に属するすべての対合が共軛である条件を特定すること、特に滑らかな細分または定数重み関数の下での場合に注目すること。
• 古典的タイプ（Bn, Dn）におけるコットヴィッツの予想の完全な証明を提供し、残りの未解決ケースをE8にまで縮小すること。

提案手法

• 標準基底 (Tw)w∈W と重み関数 ϕ: S → Γ>0 を用いたヘッケ代数の枠組みを用いて、カジマラ・ルシュティグ細分を定義する。
• 任意の対合の共軛類の和集合 C に対して、∑w∈C Tw がヘッケ代数において中心的であることを利用する。
• 誘導特性や既約特性との内積を用いた特性論的技法を用いて、細分の交わりを分析する。
• 滑らかな二面細分（単一の既約特性に関連するもの）の理論を活用し、対合の共軛性を証明する。
• 帰納法と Wn を W′n × H2 に分解することにより、タイプDnにおける特性と共軛類を分析する。
• フロベニウスの随伴性および特性の拡張（グラフ自己同型による変形を含む）を用いて、細分特性と共軛類の交わりを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限コクセター群の二面細分に属するすべての対合が共軛である条件は何か？
• RQ2 コットヴィッツの予想（対合の共軛類と左細分の交わりのサイズが特性の内積によって決定される）は、古典的タイプで成り立つか？
• RQ3 シュッツェンベルガーの結果（SnにおけるDuflo対合の共軛性）は、タイプAを超えて他のコクセター群へ一般化可能か？
• RQ4 同じ二面細分に属する左細分 C, C′ に対して C2(C) = C2(C′) であるという予想は、すべての有限コクセター群で成り立つか？
• RQ5 タイプE8におけるコットヴィッツの予想の状態は何か？なぜそれが唯一の未解決ケースなのであろうか？

主な発見

• 定数重み関数をもつ有限コクセター群において、細分が滑らかであれば、二面細分に属するすべての対合が共軛である。これは、Snにおけるシュッツェンベルガーの結果の一般化である。
• タイプBnおよびDnのすべての古典的タイプで、コットヴィッツの予想が成り立つ。これは、特性内積の直接計算と細分分解によって示された。
• n が偶数であるタイプDnにおいて、σ0,n/2 の共軛類 C′0 は、滑らかな二面細分に属する各左細分とちょうど1つの元で交わる。これにより、|C′0 ∩ C| = 1 が確認された。
• C′0 に関連する特性 ρC′0 は、任意の左細分 C ⊆ C+α に対して 〈ρC′0, [C]〉W′n = |C′0 ∩ C| を満たす。これにより、この場合におけるコットヴィッツの予想が証明された。
• コットヴィッツの予想の残りの未解決ケースは、E8のみである。これは、他のすべての古典的タイプの有限コクセター群が解決済みであるためである。
• 証明の根幹には、対合の共軛類の和集合 C に対して ∑w∈C Tw がヘッケ代数において中心的であること、という重要な技術的道具がある。