[論文レビュー] Connes' Gauge Theory on Noncommutative Space-Times

Katsusada Morita|ArXiv.org|Nov 10, 2000

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非可換ミンコフスキー時空間におけるコンネスのゲージ理論を用いて、$[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$ を満たす非可換なGlashow-Weinberg-Salam（GWS）モデルをレプトン系に定式化する。このモデルは二つのヒッグスダブルレット、四つの中性ゲージボソン（二つが質量を持ち、二つが質量なし）を特徴とし、ニュートリノと電子が二つの「光子」に非自明にカップルする。これは可換な極限 $\theta^{\mu\nu} \to 0$ において標準的GWS理論に還元される。モデルは自然に二つの異なるエネルギースケールを組み込む：非可換幾何学のスケール（プランクに類似）と弱いスケール。

ABSTRACT

Connes' gauge theory is defined on noncommutative space-times. It is applied to formulate a noncommutative Glashow-Weinberg-Salam (GWS) model in the leptonic sector. It is shown that the model has two Higgs doublets and the gauge bosons sector after the Higgs mechanism contains the massive charged gauge fields, two massless and two massive neutral gauge fields. It is also shown that, in the tree level, the neutrino couples to one of two `photons', the electron interacts with both `photons' and there occurs a nontrivial $ν_R$-interaction on noncommutative space-times. Our noncommutative GWS model is reduced to the GWS theory in the commutative limit. Thus in the neutral gauge bosons sector there are only one massless photon and only one $Z^0$ in the commutative limit.

研究の動機と目的

• 非可換時空間 $[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$ におけるコンネスのゲージ理論への拡張を図ること。ここで $\theta^{\mu\nu}$ は反対称的かつ可逆的である。
• 演算子形式と両側ゲージ変換を用いて、レプトン系における非可換Glashow-Weinberg-Salamモデルを定式化すること。
• 非可換な設定におけるヒッグス機構とゲージボソンスペクトルを調査すること。特に二つのヒッグスダブルレットと四つの中性ゲージ場の出現を明らかにすること。
• 可換な極限 $\theta^{\mu\nu} \to 0$ においてモデルが標準的GWS理論に還元されることを示し、一つの質量なし光子と一つの $Z^0$ ボソンが回復されることを確認すること。
• 非可換ゲージ理論におけるフェルミオン質量項の役割を明確にし、それらがゲージ不変性を破ることを示し、ヒッグス機構のパターンが $\theta$-スケールとは独立に決定されることを示すこと。

提案手法

• モデルは、二枚の時空 $M_4 \times Z_2$ を用いたコンネス形式を採用し、演算子値スピンルイ $\psi(\hat{x})$ を用いて非可換幾何学に拡張する。ここで $[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$ を満たす。
• 偏微分 $\partial_\mu$ は、非可換代数と整合性を持つように、$\hat{p}_\mu = -i\theta_{\mu\nu}\hat{x}^\nu$ を用いて $[\hat{p}_\mu, \psi(\hat{x})]$ に置き換えられる。
• ゲージ不変性は両側変換 $\psi(\hat{x}) \to g(\hat{x})\psi(\hat{x})u^\dagger(\hat{x})$ を用いて実装され、$g, u \in U(1) \times U(1)$ である。これにより、二重のゲージ構造が得られる。
• ディラック＝ユカワ作用はトレース形式を用いて構築され、非可換演算子を可換時空間上の関数に写像するために、ウェイル＝モアル星積が用いられる。
• 非可換ヤン・ミルズ作用は演算子形式から導出され、ウェイル＝モアル表現に書き直されてヒッグス機構と質量スペクトルの分析がなされる。
• 可換な極限は $\theta^{\mu\nu} \to 0$ とすることで取り入れられ、二つのヒッグスダブルレットが一つに統合され、四つの中性ゲージ場が一つの質量なし光子と一つの $Z^0$ ボソンに還元されることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンネスのゲージ理論は、$[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$ を満たす非可換時空間へどのように一般化されるか。どのような新しい構造が出現するか？
• RQ2 非可換GWSモデルにおけるゲージボソンのスペクトルは何か。特に、質量を持つと質量のない中性状態の数は？
• RQ3 非可換な設定におけるヒッグスダブルレットとフェルミオンカップリングはどのように振る舞うか。可換な極限において標準模型にどのように還元されるか？
• RQ4 両側ゲージ不変性は、非可換理論におけるヒッグス機構と質量生成をどのように決定するか？
• RQ5 ニュートリノと電子のカップリングは標準模型とどのように異なるか。特に二つの「光子」の出現と非自明な $\nu_R$-相互作用は？

主な発見

• 非可換GWSモデルには二つのヒッグスダブルレットが含まれており、可換な極限 $\theta^{\mu\nu} \to 0$ において一つの標準的ヒッグスダブルレットに統合される。これにより、標準模型との整合性が保証される。
• ゲージボソン系には四つの中性ゲージ場が含まれる。そのうち二つは質量を持ち、二つは質量がない。可換な極限では、一つの質量なし光子と一つの $Z^0$ ボソンに還元される。
• 電荷を持つゲージボソンは標準模型と同様に質量を持つが、中性系は非可換幾何学の影響によりより洗練された構造を示す。
• ニュートリノは非可換モデルの二つの「光子」のうちの一つにカップルするが、電子は両方にカップルする。これは電磁相互作用の非自明な拡張を示している。
• フェルミオン質量項はゲージ不変性を破り、ヒッグス機構は左・右のゲージ変換の組み合わせによって引き起こされる。これにより、ヒッグススケールは非可換 $\theta$-スケールとは独立に設定可能である。
• モデルは両側変換の下でゲージ不変であり、トレース形式により低エネルギーで標準模型と整合性を持つ。非可換効果はすべて $\theta^{\mu\nu}$ に比例して抑制される。