[論文レビュー] Consensus on the Initial Global Majority by Local Majority Polling for a Class of Sparse Graphs

Mohammed Amin Abdullah, Moez Draief|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2012

Complex Network Analysis Techniques参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、与えられた次数列を持つスパースグラフにおけるローカル多数決プロトコルを分析し、十分に大きな初期バイアスが与えられた場合、高確率で $A \log_d \log_d n$ 時間以内にグローバル多数決に到達することを示している。$d$-正則グラフでは、時間 $O(\log n)$ までに初期多数決に収束する確率が $1 - O(c^{-n^\varepsilon})$ に達する。これは、やや厳しい条件下でも強い収束保証を示している。

ABSTRACT

We study the local majority protocol on simple graphs of a given degree sequence, for a certain class of degree sequences. We show that for almost all such graphs, subject to a sufficiently large bias, within time $A \log_d \log_d n$ the local majority protocol achieves consensus on the initial global majority with probability $1-n^{-\Omega((\log n)^{\varepsilon})}$, where $\varepsilon>0$ is a constant. $A$ is bounded by a universal constant and $d$ is a parameter of the graph; the smallest integer which is the degree of $\Theta(n)$ vertices in the graph. We further show that under the assumption that a vertex $v$ does not change its colour if it and all of its neighbours are the same colour, \emph{any} local protocol $\mathcal{P}$ takes time at least $(1-o(1))\log_d\log_d n$, with probability $1-e^{-\Omega(n^{1-o(1)})}$ on such graphs. We further show that for almost all $d$-regular simple graphs with $d$ constant, we can get a stronger probability to convergence of initial majority at the expense of time. Specifically, with probability $1-O\brac{c^{-n^{\varepsilon}}}$, the local majority protocol achieves consensus on the initial majority by time $O(\log n)$. Finally, we show how the technique for the above sparse graphs can be applied in a straightforward manner to get bounds for the Erd\H{o}s--Renyi random graphs in the connected regime.

研究の動機と目的

• スパースグラフにおけるローカル多数決プロトコルが初期グローバル多数決に到達する条件を確立すること。
• 与えられた次数列を持つグラフにおけるローカル多数決ダイナミクスによるコンセンサス形成の時間計算量を特定すること。
• このようなグラフにおいて任意のローカルプロトコルがコンセンサスに到達するまでの時間の下界を証明すること。
• 正則グラフからの結果を一般のスパースグラフおよびエドサール・レニイのランダムグラフ（連結領域）に拡張すること。

提案手法

• 指定された次数列を持つグラフにおけるローカル多数決プロトコルを分析し、$\Theta(n)$ 個の頂点に現れる最小次数 $d$ に注目する。
• 確率的解析を用いて、十分に大きな初期バイアスがある場合、高確率で $A \log_d \log_d n$ 時間以内にグローバル多数決に到達することを示す。
• 頂点とそのすべての隣接頂点が同じ色を持つ場合に色の変更が起こらないものと仮定した下界の議論を適用し、任意のプロトコルが少なくとも $(1-o(1))\log_d\log_d n$ 時間を要することを証明する。
• 時間と信頼性のトレードオフを採用することで、$d$-正則グラフに対して $1 - O(c^{-n^\varepsilon})$ のより強い収束確率を達成する。
• スパースグラフの解析手法を連結領域におけるエドサール・レニイのランダムグラフに適応し、より広いクラスのランダムグラフへと結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースグラフにおいてローカル多数決プロトコルが初期グローバル多数決に到達する条件は何か？
• RQ2 与えられた次数列を持つグラフにおいて、ローカル多数決ダイナミクスによるコンセンサス形成の時間計算量は何か？
• RQ3 このようなグラフにおいて、異なるローカルプロトコルの収束時間の下界はどのように比較されるか？
• RQ4 $d$-正則グラフにおいて、時間の増加を代償に収束確率を向上させることは可能か？
• RQ5 スパースグラフの解析を、連結領域におけるエドサール・レニイのランダムグラフへどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 研究対象のクラスに属するほとんどすべてのグラフにおいて、ローカル多数決プロトコルは高確率で $A \log_d \log_d n$ 時間以内に初期グローバル多数決に到達する。その確率は $1 - n^{-\Omega((\log n)^\varepsilon)}$ である。
• このようなグラフにおいて、任意のローカルプロトコルは、確率 $1 - e^{-\Omega(n^{1-o(1)})}$ でコンセンサスに到達するまでに少なくとも $(1-o(1))\log_d\log_d n$ 時間を要する。
• $d$-正則グラフで $d$ が定数の場合、プロトコルは時間 $O(\log n)$ までに初期多数決に到達する確率が $1 - O(c^{-n^\varepsilon})$ に達する。
• 下界によって示されるように、収束時間の上限 $A \log_d \log_d n$ は定数倍の意味でタイトである。
• スパースグラフに用いた手法を直接エドサール・レニイのランダムグラフ（連結領域）に適用でき、類似した収束結果が得られる。