[論文レビュー] Consistency of least squares estimation to the parameter for stochastic differential equations under distribution uncertainty

Chen Fei, Weiyin Fei|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、分布の不確実性下でG・ブラウン運動によって駆動される確率微分方程式（SDE）のドリフトパラメータに対する最小二乗推定量（LSE）の強い一致性を確立する。部分線形期待値理論と容量に基づく新規の指数マーティングル不等式を用いて、離散的サンプリングが増加するにつれて、LSEが確率的にほぼ至るすべての事象で真のパrameter値に収束することを証明している。これは、ノイズの分布が曖昧であっても成り立つ。

ABSTRACT

Under distribution uncertainty, on the basis of discrete data we investigate the consistency of the least squares estimator (LSE) of the parameter for the stochastic differential equation (SDE) where the noise are characterized by $G$-Brownian motion. In order to obtain our main result of consistency of parameter estimation, we provide some lemmas by the theory of stochastic calculus of sublinear expectation. The result shows that under some regularity conditions, the least squares estimator is strong consistent uniformly on the prior set. An illustrative example is discussed.

研究の動機と目的

• 分布の不確実性下におけるSDEの統計的推論手法の不足に応えること、特にノイズがG・ブラウン運動によって特徴づけられる場合に焦点を当てる。
• クラシカルな最小二乗推定を、キーンティアンの不確実性が存在する状況におけるロバストなパラメータ推定に拡張すること。
• 離散時間データを用いた非線形期待値フレームワークにおけるパラメータ推定の理論的基盤を構築すること。
• 部分線形期待値下でのLSEの厳密な一貫性証明を提供し、分布の曖昧性が存在しても収束が保証されることを確認すること。
• 曖昧な分散を有するOrnstein-Uhlenbeck過程を用いて、理論的結果の数値的妥当性を検証すること。

提案手法

• 分布の不確実性下でG・ブラウン運動によって駆動される線形SDEのパラメータ推定問題を定式化する。
• 部分線形期待値理論とG・ブラウン運動の理論を用いて、ノイズの分布の曖昧性をモデル化する。
• 容量に基づく確率測度を扱うために、部分線形期待値下で新たな指数マーティングル不等式を導出する。
• G期待値フレームワーク下でのモーメントバウンドと収束性に関する重要な補題を確立する。
• プロセスの離散時間観測に基づく最小二乗推定量（LSE）を提案する。
• 複数の事前分布を用いた数値シミュレーションにより、上界および下界の期待値推定量を計算し、収束行動を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズの分布が曖昧な場合でも、G・ブラウン運動によって駆動されるSDEに対して最小二乗推定量を一貫して適用できるか？
• RQ2 分布の不確実性が存在する状況で、LSEが真のパラメータ値にほぼ確実に収束するための正則性条件は何か？
• RQ3 サンプリング点の数とシミュレーション回数が増加するにつれて、上界および下界の期待値推定量はどのように振る舞うか？
• RQ4 部分線形期待値理論が、曖昧性下でのロバストなパラメータ推定を可能にする役割は何か？
• RQ5 数値シミュレーションにより、G-SDEフレームワーク下でのLSEの理論的強い一貫性を確認できるか？

主な発見

• G-SDEのドリフトパラメータに対する最小二乗推定量（LSE）は、モデルおよびサンプリングに関する正則性条件の下で、ほぼ確実に強い一貫性を示す。
• サンプリング点の数 $ n \to \infty $ およびシミュレーション回数 $ J \to \infty $ の下で、LSEの上界および下界の期待値推定量は真のパラメータ値に収束する。
• 数値結果から、$ n $ が $ 10^4 $ から $ 5 \times 10^4 $ に増加するにつれて、上界と下界の推定量の差 $ \bar{\hat{\theta}}_{n,T} - \underline{\hat{\theta}}_{n,T} $ は 0.0209 から 0.0079 に減少し、推定精度の向上が示された。
• 固定された $ n = 5 \times 10^4 $ に対して、$ J $ が $ 2^3 $ から $ 2^7 $ に増加するにつれて、上界と下界の推定量の差は 0.1390 から 0.0677 に減少し、より多くのシミュレーションで収束が確認された。
• LSEの推定量 $ \bar{\hat{\theta}}_{n,T} $ と $ \underline{\hat{\theta}}_{n,T} $ はともに真の値 $ \theta^0 = 1 $ に近づく。$ n $ が増加するにつれて、$ \bar{\hat{\theta}}_{n,T} $ は 1.0313 から 1.0057 に減少し、$ \underline{\hat{\theta}}_{n,T} $ は 1.0104 から 0.9978 に減少した。
• 部分線形期待値と容量に基づく不等式に裏付けられた理論的枠組みは、分布の不確実性下でのロバストなパラメータ推定を成功裏に支援した。