[論文レビュー] Consistency of Orbifold Conformal Field Theories on K3

Katrin Wendland|ArXiv.org|Oct 30, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、N = (4,4) スーパーライフ理論のモジュライ空間内におけるK3表面上のG軌道型可換場理論の正確な位置を、既知のモジュライ空間の構造と整合性条件を用いて特定する。すべてのこのような軌道型（G = ZM, M ∈ {2,3,4,6}, G = bDn, n ∈ {4,5}, G = bT）に対して、Kummer型格子を明示的に計算し、D-幾何学に依存せずに、軌道型特異点の解消に由来する例外的除法の方向におけるB場の値を一意に固定する。得られた結果は、古典的 McKay 対応と整合していることが示される。

ABSTRACT

We explicitly determine the locations of G orbifold conformal field theories, G=Z_M, M=2,3,4,6, G=\hat D_n, n=4,5, or G the binary tetrahedral group \hat T, within the moduli space M^{K3} of N=(4,4) superconformal field theories associated to K3. This is achieved purely from the known description of the moduli space [AM94] and the requirement of a consistent embedding of orbifold conformal field theories within M^{K3}. We calculate the Kummer type lattices for all these orbifold limits. Our method allows an elementary derivation of the B-field values in direction of the exceptional divisors that arise from the orbifold procedure [Asp95,Dou97,BI97], without recourse to D-geometry. We show that our consistency requirement fixes these values uniquely and determine them explicitly. The relation of our results to the classical McKay correspondence is discussed.

研究の動機と目的

• N = (4,4) SCFTのモジュライ空間内におけるK3表面上のG軌道型CFTの正確な位置を特定すること。
• 格子論的整合性条件を用いて、すべてのこのような軌道型極限（G = ZM, bDn, bT）のKummer型格子を導出すること。
• D-幾何学を用いずに、軌道型解消に由来する例外的除法の方向におけるB場の値を一意に固定すること。
• 軌道型CFTの整合性と古典的 McKay 対応との直接的な関連を確立すること。

提案手法

• 文献[AM94]に基づき、MK3 を O+(Heven(X,Z))\O+(Heven(X,R))/SO(4)×O(20) として知られているモジュライ空間の記述を用いる。
• 式(B.1)の同型を用いて、R4,20 内の4次元平面を幾何的データ (Σ, V, B) に写像し、B はB場を符号化する。
• 軌道型CFTの埋め込みに整合性条件を課し、例外的除法に沿ったB場の値を固定する。
• Heven(X,Z) 及びその部分格子の構造を用いて、各群GについてKummer型部分格子を明示的に計算する。
• 判別形式および埋め込み定理（定理A.2）を用いて、軌道型不変コホモロジーの直交補空間を特徴付ける。
• 軌道型極限が、格子構造およびコホモロジー上のG作用と整合するT4,20 内の4次元平面に対応することに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N = (4,4) SCFTのモジュライ空間内におけるK3表面上のG軌道型CFT（G = ZM, bDn, bT）の正確な位置は何か？
• RQ2 軌道型解消に由来する例外的除法に沿ったB場の値は、一意に整合性条件から決定可能か？
• RQ3 各々の軌道型極限におけるKummer型格子の構造は何か？
• RQ4 軌道型CFT埋め込みの整合性は、モジュライ空間内に対応する4次元平面の幾何的解釈 (Σ, V, B) にどのように制約を加えるか？
• RQ5 得られたB場構造は、古典的 McKay 対応とどのように関係しているか？

主な発見

• 例外的除法の方向におけるB場の値は、D-幾何学を用いずに、軌道型CFTがMK3に埋め込まれる整合性要請によって一意に固定される。
• 各群G（ZM, bDn, bT）に対して、Kummer型格子は、例外的除法および軌道型不変コホモロジーが生成するH2(X,Z)の部分格子として明示的に計算される。
• 本手法により、B場の値が初等的に導出され、群作用および格子埋め込みによって有理数として明示的に決定される。
• 結果は、Kummer格子の構造が対応する有限群Gの表現理論と一致することから、古典的 McKay 対応と整合している。
• 軌道型CFTに対応する4次元平面が、H2(X,Z) の偶数自己双対格子に対する相対的位置に特徴づけられることが示された。
• 本稿は、以前のアーベル軌道型に関する結果（例：[Ber88]）を確認・拡張し、巡回群G = ZMの場合に一致することを示した。