[論文レビュー] Constant-Soundness Interactive Proofs for Local Hamiltonians

Anand Natarajan, Thomas Vidick|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非局所的エンタングル状態を持つ複数のプローバーを検証するために量子線形性テストを用いた、局所ハミルトニアン問題に対する定数音響性（定数不正確度）の量子マルチプローバーインタラクティブプロトコルを提示する。このプロトコルは、基底状態エネルギーのプロミスギャップに直接比例する音響性ギャップを達成し、定数ギャップと定数長の答えを有する量子PCP定理への重要な一歩を提供する。

ABSTRACT

$ ewcommand{\Xlin}{\mathcal{X}} ewcommand{\Zlin}{\mathcal{Z}} ewcommand{\C}{\mathbb{C}} $We give a quantum multiprover interactive proof system for the local Hamiltonian problem in which there is a constant number of provers, questions are classical of length polynomial in the number of qubits, and answers are of constant length. The main novelty of our protocol is that the gap between completeness and soundness is directly proportional to the promise gap on the (normalized) ground state energy of the Hamiltonian. This result can be interpreted as a concrete step towards a quantum PCP theorem giving entangled-prover interactive proof systems for QMA-complete problems. The key ingredient is a quantum version of the classical linearity test of Blum, Luby, and Rubinfeld, where the function $f:\{0,1\}^n o\{0,1\}$ is replaced by a pair of functions $\Xlin, \Zlin:\{0,1\}^n o ext{Obs}_d(\C)$, the set of $d$-dimensional Hermitian matrices that square to identity. The test enforces that (i) each function is exactly linear, $\Xlin(a)\Xlin(b)=\Xlin(a+b)$ and $\Zlin(a) \Zlin(b)=\Zlin(a+b)$, and (ii) the two functions are approximately complementary, $\Xlin(a)\Zlin(b)\approx (-1)^{a\cdot b} \Zlin(b)\Xlin(a)$.

研究の動機と目的

• 局所ハミルトニアン問題に対する定数音響性を有する量子マルチプローバーインタラクティブプロトコルの構築を目的とする。
• ハミルトニアンの正規化された基底状態エネルギーにおけるプロミスギャップに比例する音響性ギャップを達成することを目的とする。
• 定数長の答えと多項式長の質問を有するプロトコルを構築することで、定数ギャップと定数長の答えを有する量子PCP定理への具体的な一歩を提供することを目的とする。
• ブルーム、ルビー、ルービンフェルドの古典的線形性テストを、非可換なパウリ型演算子を含む量子設定に一般化することを目的とする。
• テンソル化を用いたギャップ拡大により、局所的でないインスタンスに対しても定数ギャップの検証を可能にする、局所ハミルトニアン問題のギャップ拡大を可能とすることを目的とする。

提案手法

• 関数 X と Z がビットストリングから d 次元のエルミート行列へ写像され、X(a)X(b) = X(a+b) および Z(a)Z(b) = Z(a+b) を満たす量子線形性テストを導入し、線形性を強制する。
• X と Z 間の補完性を、X(a)Z(b) ≈ (−1)^{a·b} Z(b)X(a) の関係により強制し、標準的交換関係を模倣する。
• 古典的質問と定数長の量子答えを有する1ラウンドのインタラクティブプロトコルを設計し、符号化テストとエネルギー測定テストを用いる。
• ハイブリッド戦略を採用：確率 (1−p) で符号化テストにより論理的パウリ演算子を検証し、確率 p で基底状態におけるエネルギー測定テストを実行する。
• ハミルトニアンをテンソル化することでギャップ拡大手順を適用し、小さなエネルギーギャップを持つインスタンスを定数ギャップの非局所的インスタンスに変換する。
• 既知の結果 QMA ⊆ MIP* を活用し、エネルギーテストの確率 p = Θ(δ^c) にパラメータを調整することで、定数音響性を達成するプロトコルを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所ハミルトニアン問題に対して、定数音響性と定数長の答えを有する量子マルチプローバーインタラクティブプロトコルを構築することは可能か？
• RQ2 非アーベルな演算子の線形性と補完性を、論理的パウリ操作を検証できる形で強制する量子線形性テストを設計することは可能か？
• RQ3 プロトコルの音響性ギャップは、ハミルトニアンの基底状態エネルギーにおけるプロミスギャップに比例させることができるか？
• RQ4 ギャップ拡大後に、ハミルトニアンが非局所的である場合、エンタングルドプローバーのもとでもプロトコルは音響性を保つのか？
• RQ5 定数長の答えを有するプロトコルを用いたマルチプレーヤー形式のゲームを通じて、量子PCP予想に近づくことは可能か？

主な発見

• プロトコルは完全性と音響性の境界を達成し、成功確率のギャップが基底状態エネルギーのギャップに比例する：|c₁ − c₂δ^cλ_min(H) ≤ ω*(H) ≤ c₁ − c₂δ^cλ_min(H) + δ|。
• 任意の δ > 0 に対して、p = Θ(δ^{15/16}) を選ぶと、いかなる不正な戦略も誠実な成功確率を δ を超えて上回ることはできない。
• エネルギーテストは、基底状態エネルギーに直接依存する確率 1/2 + 1/2(1 − 1/4λ_min(H) − 1/(2m)∑|α_ℓ|) 以下で成立する。
• テンソル化によるギャップ拡大は、λ_min(H) ≥ 1/q ならば λ_min(H′) ≥ 1 であり、λ_min(H) ≤ 1/p ならば λ_min(H′) ≤ 1/2 となるハミルトニアン H から H′ に変換する。ここで p(n) > q(n) は多項式である。
• ギャップ拡大後、非局所的ハミルトニアンに対してもプロトコルは機能し、定数長の答えを用いて非局所的インスタンスに対して定数音響性の検証が可能になる。
• この結果は、量子PCP予想のマルチプレーヤー形式を支持し、定数長の答えと定数音響性ギャップを有する QMA ⊆ MIP* を示している。