[論文レビュー] Constructing Sublinear Expectations on Path Space

Marcel Nutz, Ramon van Handel|RePEc: Research Papers in Economics|May 11, 2012

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可測な確率測度族に基づく新しい集約法を用いて、連続パス空間上における時不変な非線形期待を構築する。Borel可測な確率変数に対する条件付きG期待の存在を、以前未解決であった問題として確立する一方で、このような条件付き期待がBorel可測でないことがあることを示し、集約に基づく構成法における根本的な制限を明らかにする。

ABSTRACT

We provide a general construction of time-consistent sublinear expectations on the space of continuous paths. It yields the existence of the conditional G-expectation of a Borel-measurable (rather than quasi-continuous) random variable, a generalization of the random G-expectation, and an optional sampling theorem that holds without exceptional set. Our results also shed light on the inherent limitations to constructing sublinear expectations through aggregation.

研究の動機と目的

• 非線形期待の文脈において、Borel可測な確率変数に対する条件付きG期待を構築するという、長年の未解決問題を解決すること。
• 連続パス空間上における非線形期待に対して、時不変性と塔の性質を確立すること。
• 非線形期待理論における条件付き期待の集約に基づく構成法の本質的限界を明確にすること。
• Borel可測な確率変数の条件付き期待が、極小集合を除いてもBorel可測でないことがあることを示すこと。

提案手法

• 仮定2.1のもとで、停止時刻τ後の条件付き分布を表す確率測度族𝒫(τ,ω)の族を定義し、可測性、不変性、貼り合わせ安定性を満たすようにする。
• 条件付き期待を𝒞τ(ξ)(ω) := sup_{P∈𝒫(τ,ω)} E^P[ξ^{τ,ω}] により構成する。ここでξ^{τ,ω}は、τにおけるパスワイズな貼り合わせを表す。
• 古典的な解析的集合の理論を用いて、𝒞τ(ξ)が上半連続的解析的（したがって普遍可測）であることを証明する。これはξがBorel可測であっても成り立つ。
• 構成された条件付き期待が塔の性質とすべてのP ∈ 𝒫に対して集合条件(1.2)を満たすことを証明する。
• 一般構成法をG期待および確率的G期待に適用し、従来の擬連続関数を超える既知の結果の拡張を示す。
• ZFCにおける集合論的構成を用いて、特定の条件付き期待がBorelでないことを証明する。これは入力が有界かつBorel可測であっても成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Borel可測な確率変数に対して、条件付きG期待を、単に擬連続関数ではなく構築することは可能か？
• RQ2 パス空間上における非線形期待に対して、時不変で塔の性質を満たす条件付き期待を定義することは可能か？
• RQ3 非支配的測度の点ごとの上界による条件付き期待の集約法には、どのような本質的限界があるか？
• RQ4 Borel可測な確率変数の条件付き期待が、極小集合を除いてもBorel可測でないことがあるか？
• RQ5 どのような集合論的仮定のもとで、条件付き期待の集約問題は解をもたないか？

主な発見

• 任意のBorel可測な確率変数の条件付きG期待は存在し、普遍可測であるが、必ずしもBorel可測ではない。
• 構成された条件付き期待は、すべてのP ∈ 𝒫に対して塔の性質と集合条件(1.2)を満たし、時不変性が保証される。
• ある有界なBorel可測な確率変数ξが存在し、𝒞₁(ξ)の集約問題の任意の解は非Borelである。
• 適切なZFCモデルにおいて、有界なBorel可測なξが存在し、𝒞₁(−𝒞₂(ξ))の集約問題に対して解が存在しない。ただし𝒞₂(ξ)は普遍可測である。
• ある特定の解析的集合の実数直線への射影がLebesgue非可測である。これは、集約問題のBorel解が存在すると仮定した場合に矛盾を引き起こす。
• 結果として、古典的な方法である非支配的測度上の点ごとの上界による条件付き期待の集約は、一般にBorel可測な解を生まないことが示された。これは、正規のG期待設定においても同様である。