[論文レビュー] Construction of frame relative to n-Hilbert space

Prasenjit Ghosh, T. K. Samanta|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2021

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、n-ヒルバート空間におけるフレームを導入し、ヒルバート空間からのフレーム理論をn-ノルム構造へ一般化する。任意の列がn-ヒルバート空間に関してフレームをなすための必要十分条件として、その事前フレーム作用素が全射であること、および有界線形作用素によるフレームの像がフレームであるための必要十分条件として、その作用素が可逆であること、を示している。

ABSTRACT

In this paper, our aim is to introduce the concept of a frame in n-Hilbert space and describe some of their properties. We further discuss tight frame relative to n-Hilbert space. At the end, we study the relationship between frame and bounded linear operator in n-Hilbert space.

研究の動機と目的

• 標準ヒルバート空間からのフレーム理論を、n内積およびnノルムを備えたn-ヒルバート空間へ一般化すること。
• n-ヒルバート空間の文脈において、フレームおよびタイトフレームを定義し、それらを古典的フレーム概念の高次元構造への拡張として研究すること。
• フレームと有界線形作用素の関係、特にフレームの像がフレームのまま保たれる条件を調査すること。
• 事前フレーム作用素の全射性および擬似逆作用素の存在を用いて、n-ヒルバート空間におけるフレームを特徴付けること。
• 固定された(n−1)個のベクトルのn-ヒルバート空間におけるある列がフレームであるための必要十分条件を確立すること。

提案手法

• 線形空間上にn内積およびnノルムを定義し、線形従属性の特徴付けおよび置換不変性を含む公理を満たすこと。
• すべてのf ∈ Xに対して、A‖f|a₂,…,aₙ‖² ≤ ∑|⟨f,f_i|a₂,…,aₙ⟩|² ≤ B‖f|a₂,…,aₙ‖² を満たす列{f_i}としてn-ヒルバート空間におけるフレームを定義する。
• 事前フレーム作用素T_F: l²(ℕ) → X_FをT_F{c_i} = ∑c_i f_iで定義し、その随伴（解析作用素）T_F^*: H → l²(ℕ)を定義する。
• フレーム作用素S_F = T_F T_F^*を用いてフレームの性質を特徴付け、それが有界で、正定値で、自己随伴であり、かつ可逆であることを示す。
• 擬似逆作用素U^†を用いて、事前フレーム作用素の全射性を特徴付け、フレーム条件を導出する。
• コーシー・シュバルツの不等式および作用素ノルムの推定を用い、特にT_F T_F'^* = I_Fを含む作用素関係から、フレームの境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された(n−1)個のベクトルに関して、列がn-ヒルバート空間におけるフレームであるための条件は何か？
• RQ2 有界線形作用素によるフレームの像が、被写域空間においてもフレームであるための条件は何か？
• RQ3 事前フレーム作用素は、n-ヒルバート空間におけるフレームを特徴付けるためにどのように用いられるか？
• RQ4 擬似逆作用素は、n-ヒルバート空間におけるフレーム条件の確立において果たす役割は何か？
• RQ5 Bessel列がn-ヒルバート空間の文脈でフレームとなるための条件は何か？

主な発見

• 列{f_i}が(a₂,…,aₙ)に関してn-ヒルバート空間においてフレームであるための必要十分条件は、対応する事前フレーム作用素T_Fが全射であることである。
• フレーム作用素S_F = T_F T_F^*は、n-ヒルバート空間の文脈において有界で、正定値で、自己随伴であり、かつ可逆である。
• 有界線形作用素Uによるフレームの像がフレームであるための必要十分条件は、Uが可逆であることである。
• 二つのBessel列{f_i}および{g_i}が、T_F (T_F')^* = I_Fを満たす事前フレーム作用素を備えるならば、両方の列はそれぞれ下限1/‖T_F'^*‖²および1/‖T_F^*‖²を有するフレームである。
• n-ヒルバート空間におけるフレーム条件は不等式‖f|a₂,…,aₙ‖² ≤ ‖T_F'^*‖² ∑|⟨f,f_i|a₂,…,aₙ⟩|²として特徴付けられ、作用素ノルムとフレーム境界が結びつけられる。