[論文レビュー] Construction of Maurer-Cartan elements over configuration spaces of curves

Benjamin Enriquez, Federico Zerbini|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素曲線の配置空間上で、$C^n$ 上の主 bundle 上の有理型平坦接続を自明化することにより、リーマン面の高 genus への一般化として、レヴィンとラシネの研究を拡張した、Maurer-Cartan 要素の構成を行う。主な結果は、反復積分とポアンカレの留数を用いた、Maurer-Cartan 要素 $\boldsymbol{J}$ の明示的公式であり、シュットキー形式と群ガロア的写像を用いて低次の表現が導出される。

ABSTRACT

For $C$ a complex curve and $n \geq 1$, a pair $(\mathcal{P}, abla_\mathcal{P})$ of a principal bundle $\mathcal{P}$ with meromorphic flat connection over $C^n$, holomorphic over the configuration space $C_n(C)$ of $n$ points over $C$, was introduced in arXiv:1112.0864. For any point $\infty \in C$, we construct a trivialisation of the restriction of $\mathcal{P}$ to $(C\setminus\infty)^n$ and obtain a Maurer-Cartan element $J$ over $C_n(C\setminus\infty)$ out of $ abla_\mathcal{P}$, thus generalising a construction of Levin and Racinet when the genus of $C$ is higher than one. We give explicit formulas for $J$ as well as for $ abla_\mathcal{P}$. When $n=1$, this construction gives rise to elements of Hain's space of second kind iterated integrals over $C$.

研究の動機と目的

• 曲線の配置空間上で、genus 1 を超える範囲にまで、Maurer-Cartan 要素の構成を一般化すること。
• 曲線 $C$ 上の $C^n$ 上の主 bundle $\mathcal{P}$ 上に、配置空間 $C_n(C)$ 上で正則である有理型平坦接続 $\nabla_{\mathcal{P}}$ を定義すること。
• $\mathcal{P}$ を $(C\setminus\infty)^n$ 上で自明化し、シュットキー形式を用いて、接続からMaurer-Cartan 要素 $\boldsymbol{J}$ を構成すること。
• $\boldsymbol{J}$, $\nabla_{\mathcal{P}}$, および関連形式 $\boldsymbol{K}$, $I$, $\lambda$ の明示的公式を、ポアンカレの留数と群ガロア的写像を用いて提示すること。
• $n=1$ の場合に、構成された要素がハインの第二種反復積分の空間に属することを示し、古典的ポリログ関数構造と関連づけること。

提案手法

• リーマン面 $C$ のシュットキー被覆 $\hat{C}$ を用いて基本領域を定義し、モノドロミーとホロノミーを解析する。
• ポアンカレの留数から得られる $\mathfrak{g}$-値 1-形式 $\boldsymbol{\Lambda}$ を用いて、群ガロア的写像 $F_{\boldsymbol{\Lambda}}: \Pi_1(C\setminus\infty) \to \mathrm{exp}(\hat{\mathfrak{G}})$ を構成する。
• 反復積分を用いて定義される 1-形式 $\boldsymbol{K}$ をキーブロックとして導入し、単価および多価成分に分解する。
• 接続 $d + \boldsymbol{J}$ の自明化と経路順序指数積を用いて、Maurer-Cartan 要素 $\boldsymbol{J}_{\tilde{x},\boldsymbol{\beta}}$ を導出する。
• $\Psi$ および $\Psi_{\hat{\infty}}$ の写像を用いて多価形式を単価成分に分解し、明示的計算を可能にする。
• 対数微分 $I = gd(g^{-1})$ とその低次の展開 $\lambda = \log(g)$ を用いて、$\boldsymbol{J}$ を次数 3 まで計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus $g > 1$ の複素曲線上の $n$ 点の配置空間上で、Maurer-Cartan 要素をどのように構成できるか？
• RQ2 接続 $\nabla_{\mathcal{P}}$ 及びその関連するMaurer-Cartan 要素 $\boldsymbol{J}$ の明示的公式は、微分形式および留数を用いてどのように表されるか？
• RQ3 $(C\setminus\infty)^n$ 上での主 bundle $\mathcal{P}$ の自明化が、特異点におけるモノドロミーのない well-defined な $\boldsymbol{J}$ をどのように導くか？
• RQ4 $n=1$ の場合に、構成された $\boldsymbol{J}$ とハインの第二種反復積分の空間との関係は何か？
• RQ5 シュットキー形式とポアンカレの留数理論を用いて、多価 1-形式をどのように分解し、$\boldsymbol{J}$ を明示的に計算できるか？

主な発見

• 本稿では、$C^n$ 上の主 bundle 上の有理型平坦接続 $\nabla_{\mathcal{P}}$ を自明化することにより、$C_n(C\setminus\infty)$ 上にMaurer-Cartan 要素 $\boldsymbol{J}$ を構成し、レヴィンとラシネの genus 1 の構成を高 genus に一般化した。
• $n=1$ の場合、得られた $\boldsymbol{J}$ はハインの第二種反復積分の空間に属し、古典的ポリログ関数構造と関連づける。
• シュットキー形式、ポアンカレの留数、および写像 $\Psi_{\hat{\infty}}$ と $\mathrm{op}$ を用いて、$\boldsymbol{J}[1]$, $\boldsymbol{J}[2]$, $\boldsymbol{J}[3]$ の明示的低次式が導出された。
• $\boldsymbol{K}$ は $\Psi_{\hat{\infty}}$ を用いて単価成分に分解され、$I = gd(g^{-1})$ の対数微分を用いて $\boldsymbol{J}$ の計算が可能になった。
• $\boldsymbol{J}[1]$ の式は $\sum_{i=1}^{h} \beta_i \otimes b_i + \sum_{i=1}^{h} \omega_i \otimes a_i$ であり、$\beta_i$ と $\omega_i$ はホモロジー基底および正則 1-形式に関連する。
• $\boldsymbol{J}[3]$ の次数 3 項は、構造定数 $[h+i,h+j,h+k|r]$ とポアンカレの留数を含み、$\Psi_{\hat{\infty}}$ と対合 $\mathrm{op}$ の寄与を経て、単価性とモノドロミーの自由性が保証されている。