[論文レビュー] Construction of the Witten-Reshetikhin-Turaev TQFT from conformal field theory

Jørgen Ellegaard Andersen, Kenji Ueno|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、$\mathrm{SU}(N)$ のレベル $K$ における Witten-Reshetikhin-Turaev トポロジカル量子場理論（TQFT）について、自己同型の明示的構成を、スケイン理論を用いた実現と、バーチャル・フォルマリズムを用いた conformal field theory からのモジュラー関手の間で行っている。この同型写像は、無限大のヘッケ代数上の GNS 構成と Kanie の幾何学的同型写像を用いて構築され、conformal field theory から WRT TQFT の完全な幾何的実現が達成される。

ABSTRACT

In [AU2] we constructed the vacua modular functor based on the sheaf of vacua theory developed in [TUY] and the abelian analog in [AU1]. We here provide an explicit isomorphism from the modular functor underlying the skein-theoretic model for the Witten-Reshetikhin-Turaev TQFT due to Blanchet, Habbeger, Masbaum and Vogel to the vacua modular functor. This thus provides a geometric construction of the TQFT constructed first by Witten-Reshetikhin-Turaev from the quantum group associated to SL(N).

研究の動機と目的

• conformal field theory、特に $\mathfrak{sl}(N)$ のレベル $K$ におけるバーチャルの層を用いて、Witten-Reshetikhin-Turaev TQFT の幾何的構成を提供すること。
• スケイン理論的モジュラー関手 $\mathcal{V}_{K}^{\mathrm{SU}(N)}$ とバーチャル・モジュラー関手 $\mathcal{V}_{N,K}^{\dagger}$ の間の明示的同型写像を確立すること。
• この同型写像が、因子分解や貼り合わせのすべてのモジュラー関手構造を尊重することを確認し、WRT TQFT の幾何的実現を達成すること。
• この同型写像が、ラベルごとのスカラー倍の自由度を除いて一意的であり、バーチャル関手における双対構造がその結果として導かれるかどうかを確認すること。

提案手法

• 文献[33]におけるランク1のゴースト理論を用いて、$\mathfrak{sl}(N)$ のバーチャルの層から、バーチャル・モジュラー関手 $\mathcal{V}_{N,K}^{\dagger}$ を構成する。
• Blanchet が構築したモジュラーテンソルカテゴリ $H^{\mathrm{SU}(N)}_K$ を用いて、スケイン理論的モジュラー関手 $\mathcal{V}_{K}^{\mathrm{SU}(N)}$ を実現する。
• マーカフトレースを用いた無限大のヘッケ代数上の GNS 構成を適用し、両側の表現を特定する。
• Wenzl および Kanie の結果を用いて、$H^{\mathrm{SU}(N)}_K$ 内の射の空間とバーチャル空間の間の明示的同型写像を構成する。
• 定理6.4および補題4.1を用いて、 genus 0 における因子分解および貼り合わせ操作との整合性を確立する。
• 定理7.1を用いて、genus 0 での同型写像をすべての genus に拡張する。この定理は、貼り合わせおよび直積と整合する場合に一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{SU}(N)$ のレベル $K$ における Witten-Reshetikhin-Turaev TQFT は、バーチャルの層を用いた conformal field theory から幾何的に構成可能か？
• RQ2 スケイン理論的モジュラー関手 $\mathcal{V}_{K}^{\mathrm{SU}(N)}$ とバーチャル・モジュラー関手 $\mathcal{V}_{N,K}^{\dagger}$ の間に、自然な同型写像が存在するか？
• RQ3 この同型写像は、すべての genus においてモジュラー関手の因子分解および貼り合わせ構造を尊重するか？
• RQ4 この文脈において、GNS 構成はスケイン理論と conformal field theory の関係をどのように結びつけるか？
• RQ5 バーチャル・モジュラー関手の双対構造は、この同型写像から幾何的に導かれるか？

主な発見

• すべての構造的演算と整合する明示的同型写像 $I_{N,K}: \mathcal{V}_{K}^{\mathrm{SU}(N)} \to \mathcal{V}_{N,K}^{\dagger}$ がモジュラー関手として構成された。
• この同型写像は、ラベル集合 $\Gamma_{N,K}$ の各ラベルに対して非ゼロ複素スカラー倍の自由度を除いて一意的であり、その曖昧さは完全に特徴づけられた。
• 定理6.4における因子分解図の可換性により、因子分解同型写像を尊重することが示された。
• 定理6.9で確認されたように、genus 0 における貼り合わせとの整合性が保証され、表面の分解にわたる一貫性が得られた。
• 定理7.1を用いて、genus 0 の同型写像がすべての genus に拡張され、モジュラー関手全体の同型写像が確立された。
• バーチャル・モジュラー関手 $\mathcal{V}_{N,K}^{\dagger}$ における双対構造が、双対性を保持する $\mathcal{V}_{K}^{\mathrm{SU}(N)}$ との同型写像の結果として存在することが明らかになった。