[論文レビュー] Constructions of H r -hypersurfaces, barriers and Alexandrov Theorem in IH n × IR

Maria Fernanda Elbert, Ricardo Sá Earp|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、IHⁿ×ℝにおける放物的ねじり移動または回転に関して不変な完全なHr-超曲面を構成し、それらをバリアとして用いて鋭い高さ推定とアレクサンドロフ型定理を証明する。すなわち、IHⁿ×ℝにおけるHr > 0 を満たす埋め込みコンパクトHr-超曲面は、回転対称でなければならない。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with hypersurfaces in IH×IR with constant r-mean curvature, to be called Hr-hypersurfaces. We construct examples of complete Hr-hypersurfaces which are invariant by parabolic screw motion or by rotation. We prove that there is a unique rotational strictly convex entire Hr-graph for each value 0 n−r n , there is a unique embedded compact strictly convex rotational Hr-hypersurface. By using them as barriers, we obtain some interesting geometric results, including height estimates and an Alexandrov-type Theorem. Namely, we prove that an embedded compact Hr-hypersurface in IH n × IR is rotational (Hr > 0).

研究の動機と目的

• IHⁿ×ℝにおける放物的ねじり移動または回転に関して不変な完全なHr-超曲面を構成すること。
• 0 < r < n に対して、回転的で、滑らかに凸な全Hr-グラフの存在と一意性を確立すること。
• 各 r ∈ (0, n) に対して、一意な埋め込みコンパクトで、滑らかに凸な回転的Hr-超曲面の存在を証明すること。
• これらの超曲面をバリアとして用いて、幾何的推定と対称性に関する結果を導出すること。
• IHⁿ×ℝにおけるコンパクトで埋め込み可能なHr-超曲面に対して、アレクサンドロフ型定理を確立し、Hr > 0 のとき回転対称でなければならないことを示すこと。

提案手法

• IHⁿ×ℝにおける回転および放物的ねじり移動に関する不変性を用いてHr-超曲面を構成すること。
• 幾何的および変分的技法を用いて、滑らかに凸な全Hr-グラフの存在と一意性を証明すること。
• バリア法を用いて、コンパクトで滑らかに凸な回転的Hr-超曲面の存在を確立すること。
• 構成されたHr-超曲面をバリアとして用いて、他の超曲面の高さ推定を導出すること。
• 最大原理の技法を用いて、超曲面と構成されたバリアを比較すること。
• 対称性および曲率推定を用いて、Hr > 0 を満たすコンパクトで埋め込み可能なHr-超曲面が回転対称でなければならないことを結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IHⁿ×ℝに、放物的ねじり移動または回転に関して不変な完全なHr-超曲面は存在するか？
• RQ2 各 r ∈ (0, n) に対して、一意な回転的で滑らかに凸な全Hr-グラフは存在するか？
• RQ3 各 r ∈ (0, n) に対して、IHⁿ×ℝにコンパクトで滑らかに凸な回転的Hr-超曲面を構成できるか？
• RQ4 これらの超曲面は、IHⁿ×ℝにおける幾何的推定を導くために効果的なバリアとして機能するか？
• RQ5 IHⁿ×ℝにおける埋め込みコンパクトHr-超曲面でHr > 0 を満たすものは、すべて回転対称でなければならないか？

主な発見

• 各 r ∈ (0, n) に対して、IHⁿ×ℝに一意な回転的で滑らかに凸な全Hr-グラフが存在する。
• 各 r ∈ (0, n) に対して、IHⁿ×ℝに一意な埋め込みコンパクトで滑らかに凸な回転的Hr-超曲面が存在する。
• 構成されたHr-超曲面は効果的なバリアとして機能し、IHⁿ×ℝにおける鋭い高さ推定を可能にする。
• アレクサンドロフ型定理が確立された：IHⁿ×ℝにおける埋め込みコンパクトHr-超曲面でHr > 0 を満たすものは、すべて回転対称でなければならない。
• バリア法は、非コンパクトな積空間IHⁿ×ℝにおいて、対称性および曲率推定を効果的に得ることに成功した。
• 結果は、定数r-平均曲率超曲面の理論を、幾何的剛性の結論を伴って、Lorentz型積空間IHⁿ×ℝに拡張した。