[論文レビュー] Contact structures and supersymmetric mechanics

Andrew James Bruce|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$d=1$, $N=2$ スーパーポincare代数と超多様体 $\mathbb{R}^{1|2}$ 上の接触幾何学との間の直接的な対応関係を確立し、標準的な超対称性変換が、$\alpha = dt + i(\theta d\bar{\theta} + \bar{\theta} d\theta)$ という標準的なグラスマン奇数の接触形式に関して厳密な接触同相写像として作用することを示している。主な貢献は、超電荷ベクトル場 $Q$ および $\bar{Q}$ が厳密な接触ベクトル場として同定され、リーブベクトル場が $\partial/\partial t$ として特定されることであり、これにより超対称的力学系が接触幾何学の枠組みに埋め込まれる。

ABSTRACT

We reexamine the relation between contact structures on supermanifolds and supersymmetric mechanics in the superspace formulation. This allows one to use the language of contact geometry when dealing with the d = 1, N = 2 super-Poincare algebra.

研究の動機と目的

• 超多様体上の接触構造と結びつける $d=1$, $N=2$ 超対称的力学系の幾何的枠組みを確立すること。
• 超空間における標準的な超対称性変換が、特定の超接触形式に関して厳密な接触同相写像であることを示すこと。
• 超接触設定におけるリーブベクトル場を同定し、それを超対称的力学系における時間並進生成子に関連付けること。
• 超共変微分 $\mathbbmss{D}$ および $=\bar{\mathbbmss{D}}$ の幾何的役割が接触分布を張ることを明確化すること。
• この文脈において、コセット空間法とムラー＝カルタン形式主義を接触幾何学と自然に結びつけること。

提案手法

• 超多様体 $\mathbb{R}^{1|2}$ 上に、超接触形式としてのグラスマン奇数の1次形式 $\alpha = dt + i(\theta d\bar{\theta} + \bar{\theta} d\theta)$ を定義する。
• $\alpha$ が非退化であり、$\mathcal{D}_\alpha = \ker \alpha$ と表されるコランク $(1|0)$ の超平面分布を定義すること。この分布は、奇数のベクトル場 $\mathbbmss{D}$ および $\bar{\mathbbmss{D}}$ で張られる。
• $\mathbbmss{D}$ および $\bar{\mathbbmss{D}}$ を用いた縮約により、$d\alpha = 2i d\theta \wedge d\bar{\theta}$ が $\mathcal{D}_\alpha$ 上で非退化であることを確認する。
• 変換 $t \to t + i(\epsilon \bar{\theta} - \theta \bar{\epsilon})$, $\theta \to \theta + \epsilon$, $\bar{\theta} \to \bar{\theta} + \bar{\epsilon}$ の下で $\alpha' = \alpha$ を計算し、SUSY 変換が $\alpha$ を不変に保つことを示し、厳密な接触同相写像であることを証明する。
• $L_Q \alpha = 0$ および $L_{\bar{Q}} \alpha = 0$ を計算し、$Q$ および $\bar{Q}$ が厳密な接触ベクトル場であることを確認する。
• $i_P \alpha = 1$ および $i_P d\alpha = 0$ という条件から、リーブベクトル場 $P = \partial/\partial t$ を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、超多様体上の接触構造を用いて $d=1$, $N=2$ スーパーポincare代数を幾何的に実現できるか？
• RQ2 超接触形式 $\alpha = dt + i(\theta d\bar{\theta} + \bar{\theta} d\theta)$ は、超対称性をどのように符号化するのか？
• RQ3 標準的な超電荷ベクトル場 $Q$ および $\bar{Q}$ は、この形式に関して厳密な接触ベクトル場であるか？
• RQ4 この超接触構造におけるリーブベクトル場は、超対称的力学系における時間並進生成子とどのように関係するか？
• RQ5 コセット空間法とムラー＝カルタン形式主義は、この文脈において接触幾何学と自然に結びつけられるか？

主な発見

• 超多様体 $\mathbb{R}^{1|2}$ 上の超接触形式 $\alpha = dt + i(\theta d\bar{\theta} + \bar{\theta} d\theta)$ は、$d\alpha = 2i d\theta \wedge d\bar{\theta}$ が核分布上で非退化であるため、真の接触構造を定義する。
• SUSY 変換は、$t \to t + i(\epsilon \bar{\theta} - \theta \bar{\epsilon})$, $\theta \to \theta + \epsilon$, $\bar{\theta} \to \bar{\theta} + \bar{\epsilon}$ の下で $\alpha$ が不変であるため、厳密な接触同相写像として作用する。
• 超電荷ベクトル場 $Q = \partial/\partial\theta + i\bar{\theta} \partial/\partial t$ および $\bar{Q} = \partial/\partial\bar{\theta} + i\theta \partial/\partial t$ は、$L_Q \alpha = 0$ および $L_{\bar{Q}} \alpha = 0$ を満たすため、厳密な接触ベクトル場である。
• リーブベクトル場は $P = \partial/\partial t$ として特定され、$i_P \alpha = 1$ および $i_P d\alpha = 0$ を満たす。
• $\mathcal{D}_\alpha = \operatorname{Span}\{ \mathbbmss{D}, \bar{\mathbbmss{D}} \}$ で定義される超平面分布は、$[\mathbbmss{D}, \bar{\mathbbmss{D}}] = -2i \partial/\partial t \notin \mathcal{D}_\alpha$ であるため、非可換である。
• この構成はモデルに依存せず、接触幾何学を用いた $d=1$, $N=2$ スーパーポincare代数の幾何的解釈を提供し、超対称性と古典的微分幾何学を統合する。