[論文レビュー] Contact structures with singularities

Eva Miranda, Cédric Oms|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、臨界超曲面 $Z$ に接する特異接触構造であり、滑らかでない微分形式によって定義される $b^m$-接触構造を導入する。局所正規形を確立し、$Z$ に誘導される幾何構造を特徴づけ、任意の凸超曲面が $b^{2k}$-接触構造の臨界集合として実現可能であることを示し、一般のクラスの曲面に対して3次元で存在性を示している。

ABSTRACT

We study singular contact structures, which are tangent to a given smooth hypersurface $Z$ and satisfy certain transversality conditions. These singular contact structures are determined by the kernel of non-smooth differential forms, called $b^m$-contact forms having an associated critical hypersurface $Z$. We provide several constructions, prove local normal forms and study the induced structure on the critical hypersurface. In the last section of this paper we tackle the problem of existence of $b^m$-contact structures on a given manifold. We prove that convex hypersurfaces can be realized as critical set of $b^{2k}$-contact structures. In particular, in the $3$-dimensional case, this construction yields the existence of a generic set of surfaces $Z$ such that the pair $(M,Z)$ is a $b^{2k}$-contact manifold and $Z$ is its critical hypersurface.

研究の動機と目的

• 臨界超曲面 $Z$ に接する特異接触構造を、横断性条件を満たすように定義すること。
• 滑らかでない微分形式としての $b^m$-接触形式を定義し、その解析を行うこと。
• 臨界超曲面 $Z$ の近傍における $b^m$-接触構造の局所正規形を確立すること。
• 臨界超曲面 $Z$ に誘導される幾何構造を調査すること。
• 与えられた多様体上での $b^{2k}$-接触構造の存在問題、特に凸超曲面の場合を扱うこと。

提案手法

• 臨界超曲面 $Z$ に接する特異接触構造を定義する非滑らか微分形式として $b^m$-接触形式を定義する。
• 接触構造が $Z$ の近傍で適切に振る舞うように、横断性条件を用いる。
• 座標変換と吹き上げ技法を用いて、$Z$ の近傍における $b^m$-接触構造の局所正規形を導出する。
• 接触構造を超曲面に制限することで、$Z$ に誘導される幾何構造を分析する。
• 臨界集合が凸超曲面であるような多様体上に $b^{2k}$-接触構造を構成する。
• これらの構成を応用して、3次元の場合に一般の曲面 $Z$ に対して存在性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非滑らか微分形式を用いて、臨界超曲面 $Z$ を持つ多様体上に特異接触構造をどのように定義できるか。
• RQ2 $b^m$-接触構造が臨界超曲面 $Z$ の近傍でどのような局所正規形をもつか。
• RQ3 $b^m$-接触構造が臨界超曲面 $Z$ に誘導する幾何構造は何か。
• RQ4 どのような超曲面が、与えられた多様体上での $b^{2k}$-接触構造の臨界集合として現れるか。
• RQ5 3次元多様体に与えられた臨界超曲面 $Z$ を持つ $b^{2k}$-接触構造が存在する条件は何か。

主な発見

• 本稿は、臨界超曲面 $Z$ の近傍における $b^m$-接触構造の局所正規形を確立し、近傍で一意的なモデルを提供している。
• 臨界超曲面 $Z$ に誘導される構造が、$b^m$-接触形式から導かれる明確な幾何構造を有することが示された。
• 任意の凸超曲面 $Z$ は、適切な多様体上での $b^{2k}$-接触構造の臨界集合として実現可能である。
• 3次元の場合、一般の曲面 $Z$ は、$Z$ を臨界超曲面とする $b^{2k}$-接触構造を有する。
• $b^{2k}$-接触構造の存在性は、凸超曲面を臨界集合とする多様体を含む広範なクラスの多様体に対して証明された。