[論文レビュー] Contextuality of general probabilistic theories and the power of a single resource

Farid Shähandeh|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

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ひとこと要約

本稿は、一般確率理論における3つの核心的特徴の根本的不整合性を確立する。すなわち、制限のない仮説、実在的非文脈性、および非分解可能な測定が複数存在することの3つである。本稿は、これらの条件のうち2つを満たすと、残りの1つが必然的に破られることが示され、特に制限のない仮説が非単体的理論における文脈性の主要因であることが特定された。主要な補足命題により、1つの有効な測定または状態が、そうでなければ古典的である理論に文脈性を引き起こす正確な条件が明らかにされた。

ABSTRACT

Generalized contextuality refers to our inability of explaining measurement statistics using a context-independent probabilistic model. On the other hand, measurement statistics can also be modeled most generally within the framework of general probabilistic theories. Here, starting from a construction of general probabilistic theories based on a Gleason-type theorem, we show that for any such theory the three insistence of (i) the no-restriction hypothesis, (ii) the ontological noncontextuality, and (iii) multiple nonrefinable measurements for any fixed number of outcomes are incompatible. In other words, requiring any two of these properties for a general probabilistic theory implies the violation of the third one. We extensively discuss general probabilistic theories for which (ii) and (iii) are met while (i) is violated, exploring the role of the no-restriction hypothesis as a sufficient condition that enforces ontological contextuality on nonsimplicial general probabilistic theories. Finally, we establish as a corollary the necessary and sufficient condition for a single resourceful measurement or state to promote an ontologically noncontextual (i.e. classical) general probabilistic theory to an ontologically contextual (i.e. nonclassical) one under the no-restriction hypothesis.

研究の動機と目的

• 文脈性、測定構造、および制限のない仮説の相互作用を分析することにより、一般確率理論における基礎的制約を調査すること。
• 実在的非文脈性（古典的）理論が、1つの有効な測定または状態を備えると、どのような条件下で実在的文脈性（非古典的）に変わるかを特定すること。
• 非単体的理論において、非文脈性と複数の非分解可能な測定が仮定されている場合に、制限のない仮説が文脈性を強制する役割を明確にすること。
• 制限のない仮説の下で、非文脈的理論において1つの資源が文脈性を引き起こすための必要十分条件を導出すること。

提案手法

• 数学的整合性と操作的完全性を保証するため、Gleason型定理を用いて一般確率理論を構築すること。
• 3つの性質の論理的不整合性を分析する：(i) 制限のない仮説、(ii) 実在的非文脈性、(iii) 固定された結果数における非分解可能な測定の複数存在。
• 論理的帰納を用いて、3つの性質のうち任意の2つが成立すると、残りの1つが失敗することを示し、三重の不整合性を確立すること。
• 非文脈性と非分解可能な測定が複数存在するが、制限のない仮説に反する理論に焦点を当て、文脈性の出現を検討すること。
• 制限のない仮説の下で、1つの測定または状態が非文脈的理論に文脈性を引き起こすための必要十分条件を特定する補足命題を導出すること。
• 凸集合および測定空間の構造的解析を用いて、資源状態が文脈性を可能にする役割を特徴づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般確率理論における制限のない仮説、実在的非文脈性、および非分解可能な測定の複数存在という3つの性質の論理的制約は何か？
• RQ2 制限のない仮説の破れは、そうでなければ非文脈性および非分解可能な測定が複数存在する理論における文脈性の出現にどのように影響するか？
• RQ3 制限のない仮説を仮定する下で、1つの有効な測定または状態が、実在的非文脈的理論を実在的文脈的理論に変える正確な条件は何か？
• RQ4 なぜ制限のない仮説が非単体的理論において文脈性を強制する十分条件として機能するのか？

主な発見

• 制限のない仮説、実在的非文脈性、非分解可能な測定の複数存在という3つの性質は、互いに不整合的である。すなわち、任意の2つを満たすと、残りの1つが必然的に破られる。
• 実在的非文脈性と非分解可能な測定が複数存在するが、制限のない仮説に反する理論でも、文脈性を示す可能性がある。これは、文脈性が単に測定の豊かさを超えた構造的制約から生じることを示唆する。
• 非単体的一般確率理論において、制限のない仮説は、実在的非文脈性と複数の測定が満たされている場合でも、実在的文脈性を強制する十分条件である。
• 1つの有効な測定または状態が、そうでなければ非文脈的である理論に文脈性を引き起こすのは、その状態または測定が制限のない仮説から導かれる特定の構造的条件を満たす場合に限る。
• 1つの資源による文脈性の活性化のための必要十分条件が、補足命題として明確に確立され、文脈性生成の明確な操作的基準が提供された。