[論文レビュー] Continued fractions, statistics, and generalized patterns

Toufik Mansour|ArXiv.org|Oct 3, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、132を避ける置換における一般化されたパターン—特に12-3-...-kおよび21-3-...-kパターン—を導入することで、置換統計量の連分数生成関数を一般化する。これにより、Narayana数、Catalan数、増加部分列統計量と関連する、これらの統計量の連携分布の新たな連分数展開が確立され、類似の代数的・組合せ的技法を用いて、従来の古典的パターンに関する先行研究が拡張される。

ABSTRACT

Recently, Babson and Steingrimsson (see \cite{BS}) introduced generalized permutations patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. Following \cite{BCS}, let $e_kπ$ (respectively; $f_kπ$) be the number of the occurrences of the generalized pattern $12\mn3\mn...\mn k$ (respectively; $21\mn3\mn...\mn k$) in $π$. In the present note, we study the distribution of the statistics $e_kπ$ and $f_kπ$ in a permutation avoiding the classical pattern $1\mn3\mn2$. Also we present an applications, which relates the Narayana numbers, Catalan numbers, and increasing subsequences, to permutations avoiding the classical pattern $1\mn3\mn2$ according to a given statistics on $e_kπ$, or on $f_kπ$.

研究の動機と目的

• 古典的置換パターンの連分数フレームワークを、隣接制約を伴う一般化されたパターンへ拡張すること。
• 132を避ける置換における一般化されたパターン統計量 e_k(π) および f_k(π) の分布を研究すること。
• これらの統計量とNarayana数、Catalan数、増加部分列などの組合せ的対象との関係を確立すること。
• 類似の代数的技法を用いて、[BCS, MV1] における古典的パターンに関する先行結果を、一般化されたパターン設定へと一般化すること。
• パターン回避置換の文脈において、置換統計量の生成関数を連分数によって統一的に生成するフレームワークを提供すること。

提案手法

• [BCS] の証明技法を適応し、132を避ける置換における一般化されたパターンの連分数生成関数を導出すること。
• e_k(π) および f_k(π) を、置換 π における一般化されたパターン 12-3-...-k および 21-3-...-k の出現回数として定義すること。
• 最大要素の位置を用いた132を避ける置換の再帰的分解により、再帰的関係式を導出すること。
• 行列変換および生成関数の恒等式を用いて、生成関数を既知の組合せ的数列と関連付けること。
• 二項係数を含む分子を持つ連分数構造を用いる： ∏_{k=0}^{n} x_{k+2}^{inom{n}{k}}。
• Narayana数およびCatalan数の既知の連分数と等しいことにより、生成関数の関数方程式を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的置換パターンの連分数フレームワークを、隣接制約を伴う一般化されたパターンへどのように拡張できるか？
• RQ2 132を避ける置換における統計量 e_k(π) および f_k(π) の連携分布は何か？
• RQ3 e_k(π) および f_k(π) の生成関数は、明示的な係数を持つ連分数として表現可能か？
• RQ4 これらの統計量にNarayana数、Catalan数、または増加部分列に基づく組合せ的解釈は存在するか？
• RQ5 古典的パターンに対して用いられた同じ代数的手法が、132を避ける文脈における一般化されたパターンに対しても適用可能か？

主な発見

• 生成関数 ∑_{π∈S(1-3-2)} ∏_{k≥1} x_k^{e_k(π)} は、(n+1)番目の分子が x_1 · ∏_{k=0}^{n} x_{k+2}^{inom{n}{k}} である連分数として与えられる。
• e_2(π) = k を満たす132を避ける置換の個数は、Narayana数 N(n,k) に等しく、Narayana数の既知の連分数と一致させることで示された。
• 同様に、f_2(π) = k を満たす132を避ける置換の個数も、Narayana数 N(n,k) に等しく、関数方程式の一致により確認された。
• 2-増加部分列の総数（k≥2 における e_k(π) の和）は、連分数 1 / (1 - t(1-x) - x t / (1 - t(1-x^2) - x^2 t / (1 - ...))) で符号化される。
• ほぼ2-増加部分列の総数（k≥2 における f_k(π) の和）は、連分数 1 - t / (x t - 1 / (1 - t / (x^2 t - 1 / (1 - ...)))) で符号化される。
• 132を避ける置換の個数（Catalan数）の生成関数は、一般化されたフレームワークの特別な場合として回復され、既知の連分数形と整合することが確認された。