[論文レビュー] On multi-avoidance of generalized patterns

Mansour, T., Kitaev, S.|ArXiv.org|Sep 25, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、一般化された3パターンを避けると同時に、指定された増加または減少パターンで始まり・終わる順列の数についての再帰関係および母関数を提供する。古典的および一般化された順列パターンの多重回避に関する先行研究を拡張し、さまざまなケースについて閉形式式および指数型母関数を提示する。特に、Euler数、自己逆置換、Bell数との関連も示す。

ABSTRACT

In [Kit1] Kitaev discussed simultaneous avoidance of two 3-patterns with no internal dashes, that is, where the patterns correspond to contiguous subwords in a permutation. In three essentially different cases, the numbers of such $n$-permutations are $2^{n-1}$, the number of involutions in $\mathcal{S}_n$, and $2E_n$, where $E_n$ is the $n$-th Euler number. In this paper we give recurrence relations for the remaining three essentially different cases. To complete the descriptions in [Kit3] and [KitMans], we consider avoidance of a pattern of the form $x-y-z$ (a classical 3-pattern) and beginning or ending with an increasing or decreasing pattern. Moreover, we generalize this problem: we demand that a permutation must avoid a 3-pattern, begin with a certain pattern and end with a certain pattern simultaneously. We find the number of such permutations in case of avoiding an arbitrary generalized 3-pattern and beginning and ending with increasing or decreasing patterns.

研究の動機と目的

• 内部ダッシュのない2つの3パターンの同時回避の残りの3つのケースを解明することで、3パターン回避の分類を完成させること。
• 順列が一般化された3パターンを避けるとともに、指定された増加または減少パターンで始まり・終わることを要件とする、順列パターン回避の研究を一般化すること。
• このような順列の数について、指数型および通常型母関数、再帰関係、閉形式式を導出すること。
• 単一パターン回避および初期・最終パターン制約に関する先行結果を、複数の制約と一般化されたパターンを組み合わせることで拡張すること。
• 今後の研究の方向性として、複数のパターンの回避や、正確なパターン含有回数のカウントの一般化を検討すること。

提案手法

• 通常型および指数型母関数を用いて、一般化された3パターンを避けるとともに初期・最終パターン制約を満たす順列の数を符号化する。
• 反転、補完、およびそれらの合成といった対称操作を適用し、これらの変換の下で回避数が不変であることを利用することで、異なるケースの数を削減する。
• 12-3を避けるとともに12…ℓまたは12…kで終わる順列の数について、積分方程式と再帰的分解を用いて再帰関係を導出する。
• 積分表現および指数型母関数を用いて、増加または減少する初期・最終パターンを含むケースの解を表現する。
• このような順列の数と、Euler数、Bell数、自己逆置換といった既知の組合せ論的数列との関係を確立する。
• 包含の原理と再帰的分解を適用し、初期または最終パターンが一般化されたパターンと重複するケースを処理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された3パターンを避けるとともに、増加または減少パターンで始まり・終わる順列の数は何か？
• RQ2 12-3を避けるとともに12…ℓまたは12…kで終わる順列の数を特徴づける再帰関係および母関数は何か？
• RQ3 12-3を避けるとともに特定のパターンで始まり・終わる順列の数と、Euler数やBell数といった既知の組合せ論的数列との関係は何か？
• RQ4 反転、補完、およびそれらの合成の対称性が、初期および最終パターン制約を伴うパターン回避順列の列挙に与える影響は何か？
• RQ5 2つの一般化された3パターンを同時に避けるとともに、増加または減少パターンで始まり・終わる順列の母関数は何か？

主な発見

• 12-3を避けるとともに12…ℓで終わる場合、k=2 かつ ℓ=2 のとき、指数型母関数は e^{e^t - e^m + m} を含む積分表現で与えられる。
• 12-3を避けるとともに12…kで始まり12…ℓで終わる場合、k≥3 または ℓ≥3 ならばこのような順列の数は0であり、k および ℓ が小さい場合にのみ非ゼロとなる。
• 12-3を避けるとともに12…ℓで終わる順列の数は、1-23を避けるとともに12…ℓで始まる順列の数に等しく、反転および補完操作による対称性のおかげである。
• 12-3を避けるとともにk(k-1)…1で始まり12…ℓで終わる順列の場合、再帰関係は二項係数の和と、3-21を避ける順列の既知の数の組み合わせで表される。
• 12-3を避けるとともにk(k-1)…1で始まりℓ(ℓ-1)…1で終わる順列の指数型母関数は、x および切り捨てられた指数級数の指数関数を含む偏微分方程式を満たす。
• 12-3 および 21-3 の両方を避けるとともに1または12で始まり・終わる場合、母関数はそれぞれ e^{x + x²/2} - 1 および関連する積分で明示的に与えられる。