[論文レビュー] Continuous formulation of the Loop Quantum Gravity phase space

Laurent Freidel, Marc Geiller+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 30被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ループ量子重力の離散的ホロノミー・フラックス位相空間と、平坦性制約の下での連続的一般相対性理論位相空間のシンプレクティック還元との間の正確な同型写像を確立する。フラックス変数がゲージ同値な幾何の同値類をラベルづけることにより、LQGにおける特異的幾何とスピンフォームモデルにおける区分的平坦幾何の矛盾を解消し、両者が異なるゲージ選択の下で同一の古典的データから生じることを明確にする。

ABSTRACT

In this paper, we study the discrete classical phase space of loop gravity, which is expressed in terms of the holonomy-flux variables, and show how it is related to the continuous phase space of general relativity. In particular, we prove an isomorphism between the loop gravity discrete phase space and the symplectic reduction of the continuous phase space with respect to a flatness constraint. This gives for the first time a precise relationship between the continuum and holonomy-flux variables. Our construction shows that the fluxes depend on the three-geometry, but also explicitly on the connection, explaining their non commutativity. It also clearly shows that the flux variables do not label a unique geometry, but rather a class of gauge-equivalent geometries. This allows us to resolve the tension between the loop gravity geometrical interpretation in terms of singular geometry, and the spin foam interpretation in terms of piecewise flat geometry, since we establish that both geometries belong to the same equivalence class. This finally gives us a clear understanding of the relationship between the piecewise flat spin foam geometries and Regge geometries, which are only piecewise-linear flat: While Regge geometry corresponds to metrics whose curvature is concentrated around straight edges, the loop gravity geometry correspond to metrics whose curvature is concentrated around not necessarily straight edges.

研究の動機と目的

• ループ量子重力における離散的ホロノミー・フラックス変数と一般相対性理論の連続的位相空間との間の古典的関係を明確化すること。
• LQGにおける特異的幾何解釈とスピンフォームモデルにおける区分的平坦幾何との間の緊張を解消すること。
• フラックス変数が一意的な幾何をラベルづけるのではなく、ゲージ変換の下での同値類をラベルづけること。
• 離散化と量子化を分離することで、ループ重力の古典的基礎を提供すること。
• 一般相対性理論の完全な力学を、グラフ上の有限次元ホロノミー・フラックス位相空間の集まりとして定式化する基盤を築くこと。

提案手法

• グラフ Γ の辺に関連するホロノミー・フラックス変数 (h_e, X_e) からなる有限次元位相空間を構成し、SU(2)余接束の積として形成する。
• ループ重力の離散的位相空間を、双対グラフ Γ* の補集合における平坦性制約の下での連続的重力位相空間のシンプレクティック還元として同定する。
• ゲージ固定手続きを用いて、異なる幾何的解釈（例：LQGにおける特異的ゲージ、スピンフォームにおける平坦ゲージ）を同一の連続的幾何の同値類に関連付ける。
• LQGにおける面積演算子が、特定のゲージ（特異的ゲージ）における連続的面積汎関数の量子化として生じることを示し、その関数のフラックス依存性がゲージ不変であることを示す。
• ゲージ選択に依存する関数は、ホロノミー代数の可換束に属することを示し、物理的同値性を保つ。
• レッジ幾何とスピンフォームから得られるねじれ幾何（twisted geometries）は、いずれも同一の同値類の代表であり、辺の幾何（直線的 vs. 非直線的）の選択の違いに起因する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ重力の離散的ホロノミー・フラックス位相空間は、一般相対性理論の連続的位相空間とどのように関係しているか？
• RQ2 なぜフラックス変数が一意的な幾何を決定しないのか、そして非可換性の物理的意味は何か？
• RQ3 LQGにおける特異的幾何とスピンフォームモデルにおける区分的平坦幾何はどのように統合できるか？
• RQ4 ゲージ選択が、同一のフラックスデータを異なる幾何的構造として解釈する上で果たす役割は何か？
• RQ5 一般相対性理論の完全な古典的力学を、グラフ上の断片的なホロノミー・フラックス位相空間の集まりで記述できるか？

主な発見

• ループ重力の離散的ホロノミー・フラックス位相空間は、双対グラフの補集合における平坦性制約の下での連続的重力位相空間のシンプレクティック還元と同型である。
• フラックス変数は、ゲージ同値な連続的幾何の同値類をラベルづけるため、非可換性および一意的幾何的解釈の欠如が説明される。
• LQGにおける特異的幾何とスピンフォームモデルにおける区分的平坦幾何は、ゲージ選択の違いに起因する同一の同値類の異なる代表である。
• LQGにおける面積演算子は、特異的ゲージにおける連続的面積汎関数の量子化であり、そのゲージ内でのフラックス定義（共変的または標準的）に依存しない。
• スピンフォームモデルにおけるねじれ幾何は、非直線的辺に曲率が集中する区分的平坦幾何に対応し、レッジ幾何を一般化する。
• 一般相対性理論の古典的力学は、すべてのグラフを同時に考慮する限り、グラフ上のホロノミー・フラックス位相空間の集まりとして再定式化可能である。