[論文レビュー] Continuous solutions to Monge-Ampère equations on Hermitian manifolds for measures dominated by capacity

Sławomir Kołodziej, Ngoc Cuong Nguyen|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、容量によって支配される測度の広いクラス（特に中程度の測度やオルリーツ型クラスに属する測度を含む）に対して、コンパクトなヘルミート多様体上での複素マソン＝アーベル方程式の連続な擬・プラスサブハーモニック解の存在を確立する。主な貢献は、関連する関数の Hölder 連続性によって、Hölder 連続なポテンシャルをもつ測度を特徴づけることにある。

ABSTRACT

We prove the existence of a continuous quasi-plurisubharmonic solution to the Monge-Ampère equation on a compact Hermitian manifold for a very general measre on the right hand side. We admit measures dominated by capacity in a certain manner, in particular, moderate measures studied by Dinh-Nguyen-Sibony. As a consequence, we give a characterization of measures admitting Hölder continuous quasi-plurisubharmonic potential, inspired by the work of Dinh-Nguyen.

研究の動機と目的

• コンパクトなヘルミート多様体上での複素マソン＝アーベル方程式の連続解の存在を、ケーラー設定を超えて拡張すること。
• 関連関数への関数解析的条件を用いて、Hölder 連続な擬・プラスサブハーモニックポテンシャルをもつ測度を特徴づけること。
• ディン＝ヌエン＝シボニーおよびファム＝ヴーの結果を、安定性と一意性の性質を伴ってヘルミート設定に一般化すること。
• 容量と関数の正則性に基づく、中程度の測度およびポテンシャルの Hölder 連続性に関する局所的基準を確立すること。

提案手法

• ケーラー多様体の手法を拡張した、ヘルミート幾何に適応された擬ポテンシャル論理の使用。
• 容量支配を制御する重み関数 $ h $ を用いた測度クラス $\mathcal{F}(X,h)$ の定義。$ h(x) = Cx^{n\tau} $ および $ h(x) = Ce^{\alpha x} $ を含む。
• 容量によって支配される測度の下でのマソン＝アーベル解の安定性推定の応用。重要な推定は $\Gamma(s) = Cs^\alpha$ である。
• 局所的 Hölder 連続性基準（補題 5.3）の使用により、大域的問題を局所的問題に還元すること。
• 関数 $\hat{\mu}$ が $\mathcal{S}$ 上で Hölder 連続であることと、Hölder 連続なポテンシャルが存在することの同値性の証明。
• 既知の結果（中程度の測度と容量支配に関するもの）を活用し、ファムとヴーの定理をヘルミート多様体に拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のRadon測度 $\mu$ に対して、コンパクトなヘルミート多様体上でのマソン＝アーベル方程式 $(\omega + dd^c u)^n = c\mu$ が連続な $\omega$-psh 解をもつための条件は何か？
• RQ2 マソン＝アーベル方程式の解 $u$ が Hölder 連続であるような測度 $\mu$ はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 ディン＝ヌエンによる、Hölder 連続なポテンシャルをもつ測度の特徴づけを、ケーラーからヘルミート多様体に拡張することは可能か？
• RQ4 ヘルミート設定において、容量によって支配される測度の下で、マソン＝アーベル解の安定性推定と一意性の結果はどの程度成立するか？
• RQ5 体積形式が実超曲面上に存在するような特異測度について、容量に基づく基準を用いてヘルミート多様体に拡張することは可能か？

主な発見

• 任意の $\mu \in \mathcal{F}(X,h)$ に対して、$ h(x) = Cx^{n\tau} $ または $ h(x) = Ce^{\alpha x} $ が成り立つとき、連続な $\omega$-psh 解 $u$ と定数 $c > 0$ が存在し、$(\omega + dd^c u)^n = c\mu$ を満たす。
• 関数 $\hat{\mu}(v) = \int_X v d\mu$ が $\mathcal{S} = \{v \in PSH(\omega) : -1 \leq v \leq 0, \sup_X v = 0\}$ 上で Hölder 連続であることは、$\mu$ が $\mathcal{H}(\tau)$ に属し、Hölder 連続な $\omega$-psh ポテンシャルをもつことと同値である。
• $\mu(B(x,t)) \leq A t^{2n-2+\alpha}$ （$0 < t \leq t_0$）および $f \in L^p(X, d\mu)$（$p > 1$）を満たす測度は、定数倍を除いて Hölder 連続な $\omega$-psh ポテンシャルをもつ。
• ファムとヴーによる、実超曲面上の滑らかな体積形式に関する定理をヘルミート設定に拡張し、局所的 Hölder 基準を用いた簡略化された証明を提供する。
• $\mu$ が中程度の測度（すなわち、ある Hölder 連続関数 $\varphi$ に対して $\mu \leq C (dd^c \varphi)^n$）であるとき、関数 $\hat{\mu}$ は $\mathcal{S}$ 上で Hölder 連続である。
• [DN14, 系 4.4] の証明はヘルミート多様体に拡張可能であり、$\hat{\mu}$ が $\{v \in PSH(\omega) : \sup_X v = 0\}$ 上で Hölder 連続であることから、$\mu$ が中程度の測度であることが示される。