[論文レビュー] Controllability of random systems: Universality and minimal controllability

Sean O’Rourke, Behrouz Touri|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、Wigner や Erdős–Rényi のランダム行列を用いたランダム線形系、および一般の入力ベクトルに対して、系のサイズが大きくなるに従い、高い確率で可制御性が保証されることを確立している。最近の固有値ギャップの普遍性および逆 Littlewood-Offord 理論の進展を活用し、著者らは広範なランダム行列アンサンブルのクラスにおいて可制御性が普遍的であることを証明し、ランダム隣接行列の最小可制御性に関する予想を解消した。

ABSTRACT

For a large class of random matrices $A$ and vectors $b$, we show that linear systems formed from the pair $(A,b)$ are controllable with high probability. Despite the fact that minimal controllability problems are, in general, NP-hard, we establish universality results for the minimal controllability of random systems. Our proof relies on the recent developments of Nguyen-Tao-Vu concerning gaps between eigenvalues of random matrices.

研究の動機と目的

• Erdős–Rényi のランダム隣接行列 A と標準基底ベクトル e_i を組み合わせた系が、n → ∞ のとき高確率で可制御であるという予想を解消すること。
• Wigner 型およびランダム行列型の広範なアンサンブルにわたるランダム系における可制御性の普遍性を確立すること。
• 大規模なランダム系において最小可制御性が顕著な障壁とならない理由の理論的基盤を提供すること。
• 直交不変ランダム行列アンサンブルおよび単位球面上の入力ベクトルへの分析を拡張すること。

提案手法

• 単入力系の可制御性の基準としてカルマンのランク条件を用いる。
• Nguyen, Tao, Vu による最新の固有値間隔に関する結果を応用し、ランダム行列のスペクトルにおける小さなギャップの確率を制御する。
• 逆 Littlewood-Offord 理論を用いて、A と b のべき乗で構成される行列の核にランダムベクトルが属する確率を評価する。
• 可制御性問題を、A の固有ベクトルが入力ベクトル b と直交する確率が低いことを示す問題に還元する。
• 回転不変性と Haar 測度を用いて、解析をランダム単位ベクトル入力の場合に簡略化する。
• A の i.i.d. 要素と一般の b に対して、可制御性行列が確率 1 - Cn^{-α} 以上でフルランクを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Erdős–Rényi のランダム隣接行列 A に対して、n → ∞ のとき、ペア (A, e_i) は高確率で可制御性を保つのか？
• RQ2 すべての成分が 1 のベクトル 1_n を入力とした場合、大規模なランダム系においても (A, 1_n) の可制御性は成立する可能性が大きいのか？
• RQ3 Wigner 行列に限らない、他のランダム行列アンサンブルに対しても可制御性の普遍性結果を拡張できるか？
• RQ4 一般に NP 困難である最小可制御性問題が、大規模なランダム系ではどのように振る舞うのか？
• RQ5 行列要素の独立性仮定が、可制御性の普遍性に与える影響はどの程度か？

主な発見

• i.i.d. 要素を持つ Wigner 行列 A と任意の固定非ゼロベクトル b に対して、ペア (A, b) は確率 1 - Cn^{-α} 以上で可制御である（α > 0）。
• n → ∞ のとき、すべての i = 1, ..., n に対してペア (A, e_i) が高確率で可制御であることが確認され、予想1のより強い形の確認が得られた。
• 直交不変ランダム行列 M とランダム単位ベクトル u に対して、ペア (M, u) は確率1で可制御である。
• b が A と独立な i.i.d. 要素を持つランダムベクトルの場合にも、結果は拡張され、高確率的可制御性が保証される。
• b が i.i.d. 要素を持つ確定的ベクトル（ゼロでない限り）であれば、可制御性の確率は依然として高いまま保たれる。
• 著者らは、広範なランダム行列アンサンブルのクラスにおいて可制御性が普遍的であることを確立し、大規模なランダム系では最小可制御性が問題にならないことを示唆した。