[論文レビュー] Convergence in law of the minimum of a branching random walk

Élie Aïdékon|Munich Personal RePEc Archive (Ludwig Maximilian University of Munich)|Jan 10, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、超臨界的分岐ランダムウォークにおける最小位置の分布収束を、$\frac{3}{2}\ln n$ で中心化することで確立し、極限分布が導出マルティンゲール $D_\infty$ で特徴づけられることを示している。many-to-one レンマおよびスパイン分解を用いて、最小値の漸近的尾部挙動を導出し、Gumbel型分布が導出マルティンゲールによってシフトされることを示している。これは、分岐ブラウン運動におけるブラムソンの古典的結果を、一般のモーメント条件および非格子条件のもとで離散的分岐ランダムウォークへと拡張したものである。

ABSTRACT

We consider the minimum of a super-critical branching random walk. Addario-Berry and Reed [Ann. Probab. 37 (2009) 1044-1079] proved the tightness of the minimum centered around its mean value. We show that a convergence in law holds, giving the analog of a well-known result of Bramson [Mem. Amer. Math. Soc. 44 (1983) iv+190] in the case of the branching Brownian motion.

研究の動機と目的

• 超臨界的分岐ランダムウォークにおける最小位置 $M_n$ が $\\frac{3}{2}\\ln n$ のまわりで分布収束することを確立すること。
• 分岐ブラウン運動におけるブラムソンの古典的結果を、離散的分岐ランダムウォークの設定へと拡張すること。
• 一般のモーメント条件および非格子条件のもとで、$M_n$ の極限分布を導出マルティンゲール $D_\infty$ を用いて特徴づけること。
• 最小値の尾部挙動が導出マルティンゲールによって支配されることを証明し、スパイン分解および殺されない分岐ランダムウォークを用いて明示的な定数を導出すること。

提案手法

• many-to-one レンマを用いて、加法的マルティンゲールをサイズバイアス測度下の期待値に結びつける。
• スパイン分解を用いて、最小値に寄与する典型的な粒子の経路を分析する。
• 零より下で殺される（killed below zero）分岐ランダムウォークの最小値を研究し、導出マルティンゲールを用いて尾部推定を得る。
• 2段階の近似を用いる：まず殺されないプロセスの分析により定数 $C_1$ を得る。その後、$c_0$ を用いて元のプロセスと関連付ける。
• $D_n = \sum_{|x|=n} V(x) e^{-V(x)}$ という導出マルティンゲールを用い、非絶滅の上でほとんど確実に $D_\infty > 0$ に収束することを用いる。
• 再生理論およびランダムウォークの大偏差推定を用いて、最小値を達成するようなレアパスの確率を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超臨界的分岐ランダムウォークにおける最小値 $M_n$ が $\frac{3}{2}\ln n$ で中心化されたとき、分布収束するか？
• RQ2 $M_n - \frac{3}{2}\ln n$ の極限分布は、導出マルティンゲール $D_\infty$ を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 $M_n$ の尾部挙動は、導出マルティンゲールおよび殺されない分岐ランダムウォークとどのように関係するか？
• RQ4 log-凹性や格子構造を仮定しない一般のモーメント条件および非格子条件のもとで、分布収束を確立できるか？

主な発見

• $M_n - \frac{3}{2}\ln n$ の極限分布は、$\mathbb{E}[\exp(-C^* e^x D_\infty)]$ で特徴づけられる。ここで $C^* = C_1 c_0$ であり、$C_1$ と $c_0$ は殺されないプロセスおよびスパイン分解から得られる定数である。
• 尾部確率 $\mathbb{P}(M_n < \frac{3}{2}\ln n - z)$ は、$n \to \infty$ および $z \to \infty$ の下で漸近的に $\frac{C_1 c_0}{z} e^{-z}$ に収束する。
• 導出マルティンゲール $D_n$ は、非絶滅の上でほとんど確実に正の極限 $D_\infty$ に収束し、これが極限Gumbel型分布の確率的要素を支配する。
• 非格子仮定は本質的である。格子の場合には、$\frac{3}{2}\ln n$ のまわりでの分布収束は成立しない。
• 本結果は、ブラムソンの定理を、やや弱いモーメント条件のもとで、分岐ブラウン運動から離散的分岐ランダムウォークへと拡張したものである。
• 証明は、粒子が移動境界を上回り続け、最小値に到達する確率を制御することに依存しており、スパイン技法および大偏差推定を用いている。