[論文レビュー] Convergence of Bergman measures for high powers of a line bundle

Robert J. Berman, David Witt Nyström|ArXiv.org|May 19, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、基準測度 $d\mu$ が $(K, \varphi)$ に対して安定的にベルンシュタイン＝マークフ条件を満たすという条件下で、高次の正則線束のベクトル束に付随するスケーリングされたベルマン測度が、対 $(K, \varphi)$ の均衡測度に弱収束することを確立する。この結果は、複素多様体の高次元化に伴い、直交多項式やランダム行列固有値分布に関する古典的結果を複素多様体へ一般化したものであり、多重ポテンシャル論およびベルマン核の漸近解析を用いている。

ABSTRACT

Let $L$ be a holomorphic line bundle on a compact complex manifold $X$ of dimension $n,$ and let $e^{-ϕ}$ be a continuous metric on $L.$ Fixing a measure $dμ$ on $X$ gives a sequence of Hilbert spaces consisting of holomorphic sections of tensor powers of $L.$ We prove that the corresponding sequence of scaled Bergman measures converges, in the high tensor power limit, to the equilibrium measure of the pair $(K,ϕ),$ where $K$ is the support of $dμ,$ as long as $dμ$ is stably Bernstein-Markov with respect to $(K,ϕ).$ Here the Bergman measure denotes $dμ$ times the restriction to the diagonal of the pointwise norm of the corresponding orthogonal projection operator. In particular, an extension to higher dimensions is obtained of results concerning random matrices and classical orthogonal polynomials.

研究の動機と目的

• コンパクト複素多様体 $X$ 上で、$k \to \infty$ の極限において、スケーリングベルマン測度 $\frac{B_{k\varphi}}{k^n}d\mu$ の弱収束を確立すること。
• 直交多項式およびランダム行列固有値分布に関する先行研究を、高次元複素多様体へ一般化すること。
• 基準測度 $d\mu$ が $(K, \varphi)$ に対して安定的ベルンシュタイン＝マークフ条件を満たす場合、極限測度が均衡測度 $\mathrm{MA}(P_K(\varphi))$ に一致することを証明すること。
• ブルーム＝レヴェンバーグらの予想（高次元および一般の線束に対する収束に関するもの）を解明すること。

提案手法

• 正則線束 $H^0(X,L)$ への $C^\infty(X,L)$ 上の直交射影としてのベルマン核 $K_{\varphi}(z,w)$ を用いる。
• ベルマン関数 $B_{\varphi}(z) = \sum_i |s_i(z)|^2 e^{-\varphi}$ を定義し、これによりベルマン測度 $B_{\varphi}(z)d\mu(z)$ が生成されることを示す。
• 高次のテンソル巾極限 $k \to \infty$ におけるスケーリングベルマン測度 $\frac{B_{k\varphi}}{k^n}d\mu$ を分析する。
• $L^2$-ノルムの漸近的制御を保証するため、安定的ベルンシュタイン＝マークフ測度の概念を適用する。
• 相対的 $\mathcal{E}_0$-汎関数を含むエネルギー汎関数の正則性および凹性に関する最近の結果 [4] に依拠する。
• 対数体積汎関数の2階微分を用いた変分的議論により、凹性および導関数の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的計量 $\varphi$ を持つ正則線束 $L$ 上で、スケーリングベルマン測度 $\frac{B_{k\varphi}}{k^n}d\mu$ は $k \to \infty$ のとき弱収束するか？
• RQ2 測度 $d\mu$ にどのような条件下で、極限が均衡測度 $\mathrm{MA}(P_K(\varphi))$ に一致するか？
• RQ3 1次元設定（例：直交多項式）における収束結果は、高次元複素多様体へ拡張可能か？
• RQ4 均衡測度 $\mathrm{MA}(P_K(\varphi))$ は、高次の極限におけるベルマン測度の自然な極限か？

主な発見

• 安定的ベルンシュタイン＝マークフ条件の下で、スケーリングベルマン測度 $\frac{B_{k\varphi}}{k^n}d\mu$ は均衡測度 $\mathrm{MA}(P_K(\varphi))$ に弱収束する。
• 任意のコンパクト複素多様体 $X$（次元 $n$）上に定義された正則線束 $L$ に対して、連続的計量 $\varphi$ に対してこの収束が成り立つ。
• 本結果は、ブルーム＝レヴェンバーグ（2012年）らの予想を、高次元および一般の線束設定において正当化する。
• 証明は、対数体積汎関数の凹性およびその1階導関数の均衡測度への収束に依拠している。
• 体積汎関数の2階微分が非正であることを示し、変分法を用いて収束を確立した。
• 均衡測度 $\mathrm{MA}(P_K(\varphi))$ は、スケーリングベルマン測度の弱収束極限として特徴付けられ、多重ポテンシャル論における古典的結果が拡張された。