[論文レビュー] Convergence of the Gutt Star Product

Chiara Esposito, Paul Stapor+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 71被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Lie代数の対称代数におけるGutt星積の収束を保証する局所凸位相を導入することで、星積が連続となることを確立する。主な結果は、有限次元Lie代数を含む漸近的推定Lie代数（Asymptotic Estimate Lie algebras）に対して、Gutt星積がすべてのHopf代数構造写像が変形パラメータに関して連続的かつ解析的である完全な局所凸代数に拡張可能であり、形式的冪級数を超える厳密な解析的枠組みを提供できることである。

ABSTRACT

In this work we consider the Gutt star product viewed as an associative deformation of the symmetric algebra S^\bullet(g) over a Lie algebra g and discuss its continuity properties: we establish a locally convex topology on S^\bullet(g) such that the Gutt star product becomes continuous. Here we have to assume a mild technical condition on g: it has to be an Asymptotic Estimate Lie algebra. This condition is e.g. fulfilled automatically for all finite-dimensional Lie algebras. The resulting completion of the symmetric algebra can be described explicitly and yields not only a locally convex algebra but also the Hopf algebra structure maps inherited from the universal enveloping algebra are continuous. We show that all Hopf algebra structure maps depend analytically on the deformation parameter. The construction enjoys good functorial properties.

研究の動機と目的

• 対称代数 $\mathrm{S}^{\bullet}(\mathfrak{g})$ に、Gutt星積が連続となるような局所凸位相を導入すること。
• この位相における $\mathrm{S}^{\bullet}(\mathfrak{g})$ の完備化が、すべてのHopf代数構造写像が連続である局所凸代数のままであることを保証すること。
• すべてのHopf代数写像（積、コペア、反転）が変形パラメータ $z$ に関して解析的であることを示すこと。
• 形式的冪級数を超えて、Gutt星積の収束を無限次元の場合を含む well-defined な解析的枠組みに拡張すること。
• Lie代数の準同型を尊重し、代数的および解析的構造を保存する関手的構成を提供すること。

提案手法

• Lie代数構造とGutt星積から導かれるセミノルムを用いて、$\mathrm{S}^{\bullet}(\mathfrak{g})$ に局所凸位相を導入する。
• ベルヌーイ数と随伴作用を含む公式によりGutt星積を定義する：$\xi^k \star_z \eta = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} z^j B_j^* \xi^{k-j} (\mathrm{ad}_\xi)^j(\eta)$。
• 星積の係数に関する帰納的推定を用いて、星積の連続性を証明する。
• 普遍包あらゆる代数から引き継がれるHopf代数構造写像が、新しい位相においても連続のままであることを示す。
• べき級数の収束を用いて、変形パラメータ $z$ に関する積および構造写像の解析的依存性を確立する。
• 無限次元の場合の必要十分条件を満たすために、漸近的推定Lie代数の概念を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gutt星積に、形式的冪級数を超えて連続的かつ収束する位相を導入することは可能か？
• RQ2 Lie代数 $\mathfrak{g}$ がどのような条件下で、Gutt星積が完全な局所凸代数に拡張可能か？
• RQ3 新しい位相において、Hopf代数構造写像（積、コペア、反転）は変形パラメータ $z$ に関して連続的かつ解析的か？
• RQ4 この構成はLie代数の準同型に関して関手的か？
• RQ5 特定のベクトル場のLie代数に対して、Gutt星積は無限次元設定でも収束可能か？

主な発見

• Lie代数 $\mathfrak{g}$ が漸近的推定Lie代数である限り、適切な局所凸位相を備えた $\mathrm{S}^{\bullet}(\mathfrak{g})$ においてGutt星積は連続となる。
• この位相における $\mathrm{S}^{\bullet}(\mathfrak{g})$ の完備化は、すべてのHopf代数構造写像が連続である局所凸代数のままである。
• すべてのHopf代数構造写像は変形パラメータ $z$ に関して解析的であり、変形パラメータに沿った滑らかな依存性が保証される。
• この構成は関手的である：Lie代数の準同型は、完備化された代数上で連続な代数準同型を誘導する。
• 有限次元Lie代数は自動的に漸近的推定Lie代数であるため、Gutt星積は対称代数上で完全に解析的制御のもとで収束する。
• 重要な公式 $\xi^k \star_z \eta = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} z^j B_j^* \xi^{k-j} (\mathrm{ad}_\xi)^j(\eta)$ がGutt積と同値であることが示され、収束の証明の根幹をなしている。