[論文レビュー] Convergence to stable limits for ratios of trimmed Levy processes and their jumps

Yuguang Ipsen, Péter Kevei+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2017

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、r-トリムド Lévy 过程とそのr番目に大きなジャンプの比の分布における同時収束を、安定分布への吸引域条件のもとで、時間t↓0の下で確立する。安定分布への極限過程からの対応する量への収束を示し、従来の部分順序過程に関する結果を一般化し、無限単体上の新しい離散分布を導出する。

ABSTRACT

We derive characteristic function identities for conditional distributions of an r-trimmed Levy process given its r largest jumps up to a designated time t. Assuming the underlying Levy process is in the domain of attraction of a stable process as t goes to 0, these identities are applied to show joint convergence of the trimmed process divided by its large jumps to corresponding quantities constructed from a stable limiting process. This generalises related results in the 1-dimensional subordinator case developed in Kevei & Mason (2014) and produces new discrete distributions on the infinite simplex in the limit.

研究の動機と目的

• r-トリムド Lévy 过程のr番目に大きなジャンプを条件とする条件付き分布の特性関数の恒等式を導出すること。
• 時間t↓0におけるトリムド過程とそのr番目に大きなジャンプの比の分布における同時収束を確立すること。
• 一様次元の部分順序過程に関する先行研究（Kevei & Mason, 2014）を、安定分布への吸引域にある多次元 Lévy 过程へ一般化すること。
• 0<α<1のときの一般化された Poisson-Dirichlet 分布 PDα(r) を用いた極限分布の特徴付けを行い、α>1の場合は中心化を用いること。
• 連続性や密度の仮定を課さずに、一般の Lévy 測度を持つ Lévy 过程へ結果を拡張すること。

提案手法

• Lévy-Itô 分解と Lévy 測度の性質を用いて、r-トリムド Lévy 过程のr番目に大きなジャンプを条件とする条件付き分布の正確な特性関数の恒等式を導出する。
• これらの恒等式を用いて、トリムド過程とその大きなジャンプの比の特性関数を分析する。
• 時間t↓0における Lévy 过程が安定分布に収束することを保証するため、吸引域条件を適用する。
• 正則変動と逆尾関数技術（例：Π̄⁺←）を用いて、Lévy 測度が原点付近で示す挙動を制御する。
• 特性関数の指数部の漸近的解析と積分推定を用いて、正規化されたトリムド過程のラプラス変換に対する一様な上限を確立する。
• Fatou の補題と確率的収束を用いて、トリムドジャンプ数が増加する際、正規化されたトリムド過程が確率的にゼロに収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy 过程が安定分布への吸引域にあるとき、時間t↓0におけるr-トリムド Lévy 过程とそのr番目に大きなジャンプの比はどのように振る舞うか？
• RQ2 時間t↓0の極限における、トリムド過程とそのr番目に大きなジャンプの比の同時分布の極限は何か？
• RQ3 極限分布は、0<α<1のときの一般化された Poisson-Dirichlet 分布 PDα(r) とどのように関係するか？
• RQ4 α>1 の場合、プロセスが部分順序過程ではなく、Poisson-Dirichlet 分布とは直接的な関係がない場合、どのような修正が必要か？
• RQ5 連続性や密度の仮定を課さずに、一般の Lévy 測度を持つ Lévy 过程へ結果を拡張できるか？

主な発見

• r-トリムド Lévy 过程とそのr番目に大きなジャンプの比の同時分布は、t↓0の下で、極限安定過程から構成される対応する比に弱収束する。
• 0<α<1 の場合、極限分布は一般化された Poisson-Dirichlet 分布 PDα(r) であり、これは PD(α,0) 分布を特別な場合として含む。
• α>1 の場合、適切な中心化が必要であり、極限は直接的に Poisson-Dirichlet 分布とは関係しない。
• 収束はt∈(0,t₀]において一様であり、トリムドジャンプ数が増加する際、正規化されたトリムド過程に対して確率的収束が成り立つ。
• 証明は、Lévy 測度と逆尾関数の漸近的解析から得られる正規化されたトリムド過程のラプラス変換に対する一様な上限に依存する。
• 連続性の仮定を課さずに、先行研究（Kevei & Mason, 2014）の部分順序過程に関する結果を、一般の Lévy 过程へ拡張する。