[論文レビュー] Convex computation of the maximum controlled invariant set for polynomial control systems

Milan Korda, Didier Henrion+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、測度上の無限次元線形計画法（LP）を用いて、多項式制御系における最大制御不変集合（MCI）集合を計算する凸最適化アプローチを提案する。職業測度と双対性を活用することで、最適値がMCI集合の体積に収束する有限次元の線形汎関数不等式（LMI）緩和の階層を構築し、多項式の和の平方（SOS）双対問題により、多項式の上位集合を通じて収束する外部近似を得る。

ABSTRACT

We characterize the maximum controlled invariant (MCI) set for discrete- as well as continuous-time nonlinear dynamical systems as the solution of an infinite-dimensional linear programming problem. For systems with polynomial dynamics and compact semialgebraic state and control constraints, we describe a hierarchy of finite-dimensional linear matrix inequality (LMI) relaxations whose optimal values converge to the volume of the MCI set; dual to these LMI relaxations are sum-of-squares (SOS) problems providing a converging sequence of outer approximations to the MCI set. The approach is simple and readily applicable in the sense that the approximations are the outcome of a single semidefinite program with no additional input apart from the problem description. A number of numerical examples illustrate the approach.

研究の動機と目的

• 非線形多項式制御系における最大制御不変集合（MCI）集合を計算するための、凸的で収束保証付きかつ一般化可能な手法の欠如に対処すること。
• 従来の手法が凸多面体近似に限定され、事前設定された集合の幾何構造を必要とし、収束保証が欠如しているという限界を克服すること。
• 多項式ダイナミクスとコンactな代数的制約を有する離散時刻および連続時刻系に一般に適用可能な統一的フレームワークを提供すること。
• モーメント問題（原始）と和の平方（SOS）問題（双対）との間に双対性を確立し、MCI集合の収束する外部近似を可能にすること。
• 追加のチューニングを必要とせず、システム記述のみを入力とすることで、半正定値計画法（SDP）による計算的に実行可能な手法を提供すること。

提案手法

• システム軌道を表すために職業測度を用いて、非負の測度上での無限次元線形計画法（LP）としてMCI集合の計算を定式化する。
• 有限の脱出時刻を扱い、適切に定式化されるように、コンパクト化された状態空間における緩和されたマルティンゲール問題の定式化を導入する。
• 測度空間における原始LPと連続関数空間における双対LPを導出し、適切な条件下で強い双対性を確立する。
• 原始LPの有限次元LMI緩和の階層を構築し、その最適値がMCI集合の体積に収束することを保証する。
• 双対SOS緩和を構築し、多項式の上位集合としてMCI集合の外部近似を得る。多項式次数を増加させることで収束が保証される。
• 双対SOS多項式の上位集合を用いてMCI集合の外部近似を生成し、多項式次数の増加に伴い収束が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式制御系における最大制御不変集合は、収束保証付きの凸最適化フレームワークにより計算可能か？
• RQ2 MCI集合は非負測度空間上での無限次元LP問題の解としてどのように特徴付けられるか？
• RQ3 MCI集合の近似において、原始モーメント問題と双対SOS問題との関係は何か？
• RQ4 有限次元LMIおよびSOS緩和は、MCI集合の体積および境界に対して収束する近似を提供可能か？
• RQ5 職業測度とマルティンゲール問題の定式化を用いることで、離散時刻および連続時刻系の統一的取り扱いは可能か？

主な発見

• 多項式制御系におけるMCI集合は、非負測度の錐上での無限次元LP問題の解として特徴付けられる。
• 原始LP緩和により、最適値が真のMCI集合の体積に収束する有限次元LMI問題の階層が得られる。
• 双対SOS問題により、多項式の上位集合の列が生成され、MCI集合の外部近似を提供する。多項式次数を増加させることで、MCI集合に収束する。
• 本手法は、多項式ダイナミクスとコンパクトな代数的制約を有する離散時刻および連続時刻系に適用可能である。
• 本手法はシステム記述のみを入力とし、追加のチューニングを必要とせず、単一の半正定値計画法により近似を生成する。
• 数値例により、さまざまな非線形系に対してMCI集合の収束する外部近似を計算する本手法の有効性が示された。