[論文レビュー] Convex Equipartitions via Equivariant Obstruction Theory

Pavle V. M. Blagojević, Günter M. Ziegler|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2012

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ひとこと要約

この論文は、n が素数のべきである場合のNandakumar-Ramana Rao予想を、等変オブstruction理論を用いて特定の等変写像の非存在を証明することで解決する。配置空間 F(ℝᵈ,n) の正則セル複体モデルを構成し、𝔖ₙ-等変写像が S(Wₙ⊕(d−1)) に存在するための必要十分条件が「n が素数のべきでない」ことであることを示した。これにより、n が素数のべきであるとき、任意の凸d次元体が等積かつ等表面積のn個の凸部分に分割可能であることが保証される。

ABSTRACT

We describe a regular cell complex model for the configuration space F(\R^d,n). Based on this, we use Equivariant Obstruction Theory to prove the prime power case of the conjecture by Nandakumar and Ramana Rao that every polygon can be partitioned into n convex parts of equal area and perimeter.

研究の動機と目的

• 多角形を等面積かつ等周長のn個の部分に分割するNandakumar-Ramana Rao予想を解決すること。
• n が素数のべきである場合、F(ℝ²,n) から S(Wₙ) への 𝔖ₙ-等変写像の非存在を確立すること。
• F(ℝᵈ,n) の正則セル複体モデルを構築し、それが 𝔖ₙ-等変な強い変形リトラクトであることを示すこと。
• 等変オブstruction理論を適用し、このような写像が存在するための必要十分条件が「n が素数のべきでない」ことであることを証明すること。
• 等変コhomologyを用いて、任意の次数の巡回群へのBorsuk–Ulam型定理を一般化すること。

提案手法

• 次元 (d−1)(n−1) の正則 𝔖ₙ-等変セル複体モデル 𝔛(d,n) を構成し、F(ℝᵈ,n) に強く変形リトラクトすること。
• Fadell–Husseini指数および等変コhomologyを用いて、F(ℝᵈ,n) から S(Wₙ⊕(d−1)) への 𝔖ₙ-等変写像の存在に対する障害を分析すること。
• Doldの定理（自由群作用に関するもの）を適用し、(d−1)(n−1)-連結な自由 ℤ/nℤ-空間は、(d−1)(n−1)次元の自由 ℤ/nℤ-空間へ等変写像をもたないことを示すこと。
• トランスファーおよびSylow部分群の議論を用いて、𝔖ₙ のp- Sylow部分群に対しても非存在性を強化すること。
• n が素数のべきであるとき、バンドル Wₙ → F(ℝᵈ,n) ×_{𝔖ₙ} Wₙ → F(ℝᵈ,n)/𝔖ₙ の最高位のStiefel–Whitney類が非自明であるという事実を活用すること。
• Borel–Mooreホモロジーおよび閉じた補題コhomologyを用い、n = pᵏ のとき、係数を ℤ/pℤ とする H^{M}_{𝔖ₙ}(𝔛(d,n); π_{M−1}(S(Wₙ⊕(d−1)))) における障害類を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての n ≥ 2 に対して、F(ℝ²,n) から S(Wₙ) への 𝔖ₙ-等変写像が存在するか？
• RQ2 Nandakumar-Ramana Rao予想（等面積・等周長分割）が成り立つ n の値は何か？
• RQ3 n が素数のべきである場合、障害理論を用いて S(Wₙ⊕(d−1)) への等変写像の非存在を確立できるか？
• RQ4 セル複体モデル 𝔛(d,n) は、F(ℝᵈ,n) の等変ホモトピー型を保ったまま、強い変形リトラクトか？
• RQ5 Borsuk–Ulam型定理は、素数位数の巡回群から任意の位数 n の巡回群へ一般化可能か？

主な発見

• F(ℝᵈ,n) から S(Wₙ⊕(d−1)) への 𝔖ₙ-等変写像が存在するための必要十分条件は「n が素数のべきでないこと」である。
• n = pᵏ が素数のべきであるとき、最高位の等変コhomology群 H^{M}_{𝔖ₙ}(𝔛(d,n); π_{M−1}(S(Wₙ⊕(d−1)))) は ℤ/pℤ に同型であり、それ以外の場合は自明である。
• セル複体 𝔛(d,n) は、n! 個の頂点と n! 個のファセットを持つ、正則な 𝔖ₙ-等変 (d−1)(n−1)-次元 CW 複体である。
• n = pᵏ が素数のべきであるとき、S(Wₙ⊕(d−1)) への 𝔖ₙ-等変写像は存在せず、これは 𝔖ₙ のp- Sylow部分群に対しても成り立つ。
• この結果により、n が素数のべきであるとき、任意の凸d次元体が等積かつ等表面積のn個の凸部分に分割可能であることが示される。
• 一般化されたBorsuk–Ulam定理が証明された：X が自由な (d−1)(n−1)-連結な ℤ/nℤ-空間で、f: X → ℝᵈ が連続であるとき、ある x および 0 でない a ∈ ℤ/nℤ に対して f(x) = f(a·x) が成り立つ。